Dada a superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 - 3 x - 9 = 0 e o plano x + y + z = 1 ,

  1. Determine a posição relativa da superfície e o plano;
  2. se o plano for externo, calcule a distância do centro ao plano, se for tangente, calcule as coordenadas do ponto de tangência; se for secante, calcule as coordenadas do centro e o raio da circunferência que o plano determina na superfície.

Passo 1

Fala galerinha! Vamos por partes. Pra começar, o de sempre… Escrever a equação da superfície esférica em sua forma reduzida:

x 2 + y 2 + z 2 - 3 x - 9 = 0

⇒ x 2 - 3 x + 9 4 - 9 4 + y 2 + z 2 - 9 = 0

⇒ ( x - 3 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 45 4

  1. Tendo a equação reduzida, podemos ver que o centro da esfera é C = ( - 3 2 , 0,0 ) e o raio é r = 45 2 . Para o plano x + y + z - 1 = 0 , temos que o vetor normal é n → = ( 1,1 , 1 ) .
  2. Agora podemos calcular a distância relativa pela equação da distância entre o plano e o centro:

    d ( C , π )   =   | 1   ⋅   3 2   +   1   ⋅   0   +   1   ⋅   0   -   1 | 1 + 1 + 1 = 1 2 3   =   3 6

    Pronto, agora só falta comparar com o raio da esfera. r = 45 2 ≈ 3,35 e d ( C , π )   = 3 6 ≈ 0.28 . Logo, o plano é secante à superfície esférica.

    Passo 2

  3. Então, achamos que o plano é secante à esfera. Com isso, precisamos achar um ponto C ' = ( x , y , z ) que pertence ao plano e que formará um vetor C C ' → paralelo ao vetor normal do plano.

Assim, temos

C C ' → =   C ' - C =   ( x , y , z ) - ( - 3 2 , 0,0 ) =   ( x - 3 2 , y , z )

Então, C C ' → = k n →   ⇒ ( x - 3 2 , y , z ) =   ( k , k , k ) . Daí, C ' =   ( k + 3 2 , k , k ) será o centro da circunferência que surge da interseção do plano com a esfera.

Para finalizar, precisamos achar o valor de k . E já sabemos que é moleza, basta substituir esse ponto na equação do plano, pois C '   ∈   π :

k + 3 2 + k + k - 1 = 0

⇒ 3 k = - 1 2

⇒ k = - 1 6

Prontinho, temos C ' =   ( - 1 6 + 3 2 , - 1 6 , - 1 6 ) =   ( 8 6 , - 1 6 , - 1 6 ) . Também vamos precisar de C C ' → = ( k , k , k ) = ( - 1 6 , - 1 6 , - 1 6 ) para o próximo passo.

Passo 2

Vamos finalizar? Basta achar o raio dessa circunferência r ' . Para isso, temos que

r 2 = r ' 2 + | C C ' → | 2   ⇒ r ' 2 = r 2 - | C C ' → | 2   ,

onde | C C ' → |   = | ( - 1 6 , - 1 6 , - 1 6 ) | 2 = 3 36 = 1 12 e r 2 = 45 4   . Daí,

r ' 2   = 45 4 - 1 12   =   135 12 - 1 12

⇒ r ' = 134 12

⇒ r ' = 67 6

Resposta

  1. secante
  2. ( 8 6 , - 1 6 , - 1 6 ) e 67 6