Dada a superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 8 z + 3 = 0 e o ponto A = ( 1,1 , - 1 ) ,

  1. determine a posição relativa do ponto e a superfície esférica;
  2. escreva uma equação do plano tangente a essa superfície passando por A .

Passo 1

Vamos começar escrevendo a equação da superfície esférica em sua forma reduzida:

x 2 + 2 x + y 2 + z 2 + 8 z + 3 = 0

⇒ x 2 + 2 x + 1 - 1 + y 2 + z 2 + 8 z + 16 - 16 + 3 = 0

⇒ ( x + 1 ) 2 - 1 + y 2 + ( z + 4 ) 2 - 16 + 3 = 0

⇒ ( x + 1 ) 2 + y 2 + ( z + 4 ) 2 = 14

ou seja, o centro é C = ( - 1,0 , - 4 ) e o raio r = 14 .

  1. Para sabermos a posição relativa do ponto A = ( 1,1 , - 1 ) com a superfície esférica, utilizamos a distância entre o centro da esfera e esse ponto. Depois, comparamos com o valor do raio da esfera. Vamos lá!
  2. d ( C , A )   =   ( 1 - ( - 1 ) ) 2   + ( 1 - 0 ) 2 + ( - 1 - ( - 4 ) ) 2   = 4 + 1 + 9  

    ⇒ d ( C , A ) = 14

    Logo, o ponto é tangente à superfície e isso quer dizer que A   ∈ S .

    Passo 2

  3. Pra esse item precisamos pegar um vetor que sai do centro até o ponto A , ou seja C A → será no mesmo sentido que o vetor normal do plano que é tangente à superfície da esfera. Assim,

( a , b , c ) = k C A   →   ⇒ ( a , b , c )   =   k ( ( 1,1 , - 1 ) - ( - 1,0 , - 4 ) )

⇒ ( a , b , c )   =   k ( 2,1 , 3 )  

Com isso, temos o seguinte sistema:

a = 2 k

b   =   k

c = 3 k

Daí, o nosso plano fica

2 k x + k y + 3 k z + d   =   0

Como o ponto A = ( 1,1 , - 1 ) pertence ao plano:

2 k ⋅ 1 + k ⋅ 1 + 3 k ⋅ ( - 1 ) + d   =   0

⇒ 2 k + k - 3 k + d   =   0

⇒ d   =   0

Logo, como é válida para qualquer k, vamos simplificar para k = 1 :

2 k x + k y + 3 k z =   0

⇒ 2 x + y + 3 z = 0

E aí, curtiu a resolução? Responde Aí!

Resposta

  1. A   ∈ S
  2. 2 x + y + 3 z = 0 .