Enunciado

Dadas as bases E = ( e 1 → , e 2 → , e 3 → ) , F = ( ( 1,1 , 1 ) E , ( - 1,0 , 1 ) E , ( 0,0 , 1 ) E ) e B = ( ( 0,1 , 0 ) F , ( - 1,1 , - 1 ) F , ( 1,0 , 2 ) F ) , resolva ( a , b , c ) F + ( 1 , - 2,3 ) B = ( 1,2 , - 1 ) E .

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo tranquilo? Bom, como vocês podem ver, os vetores da base F foram escritos em termos da base E e os da base B foram escritos em termos da base F , então também podem ser escritos em termos da base E . A sacada aqui nessa questão é justamente essa: escrever todos os vetores de base na base E . Isso já está feito para a base F , então só precisamos nos preocupar com a base B :

( 0,1 , 0 ) F = 0 ⋅ ( 1,1 , 1 ) E + 1 ⋅ ( - 1,0 , 1 ) E + 0 ⋅ ( 0,0 , 1 ) E = ( - 1,0 , 1 ) E

( - 1,1 , - 1 ) F = ( - 1 ) ⋅ ( 1,1 , 1 ) E + 1 ⋅ ( - 1,0 , 1 ) E + ( - 1 ) ⋅ ( 0,0 , 1 ) E = ( - 2 , - 1 , - 1 ) E

( 1,0 , 2 ) F = 1 ⋅ ( 1,1 , 1 ) E + 0 ⋅ ( - 1,0 , 1 ) E + 2 ⋅ ( 0,0 , 1 ) E = ( 1,1 , 3 ) E

Assim, ficamos com as seguintes bases E = ( e 1 → , e 2 → , e 3 → ) , F = ( ( 1,1 , 1 ) E , ( - 1,0 , 1 ) E , ( 0,0 , 1 ) E ) e B = ( ( - 1,0 , 1 ) E , ( - 2 , - 1 , - 1 ) E , ( 1,1 , 3 ) E ) .

Passo 2

Antes de resolver ( a , b , c ) F + ( 1 , - 2,3 ) B = ( 1,2 , - 1 ) E , vamos reescrever os dois vetores do lado esquerdo na base E :

( a , b , c ) F = a ( 1,1 , 1 ) E + b ( - 1,0 , 1 ) E + c ( 0,0 , 1 ) E = ( a - b , a , a + b + c ) E

( 1 , - 2,3 ) B = ( - 1,0 , 1 ) E - 2 ( - 2 , - 1 , - 1 ) E + 3 ( 1,1 , 3 ) E = ( 6,5 , 12 ) E

Agora que tá tudo escrito na base E , podemos resolver

( a , b , c ) F + ( 1 , - 2,3 ) B = ( 1,2 , - 1 ) E )

⇒ ( a - b , a , a + b + c ) E + ( 6,5 , 12 ) E = ( 1,2 , - 1 ) E

⇒ ( a - b + 6 , a + 5 , a + b + c + 12 ) E = ( 1,2 , - 1 ) E

Assim, temos um sistema de equações:

a - b + 6 = 1

a + 5 = 2 ⇒ a = 2 - 5 = - 3

a + b + c + 12 = - 1

A segunda equação já nos forneceu a = - 3 . Usando essa informação na primeira equação acima, obtemos

a - b + 6 = 1 ⇒ - 3 - b + 6 = 1

⇒ - b = 1 - 6 + 3 = - 2 ⇒ b = 2

Agora, substituindo esses dois valores na terceira equação:

a + b + c + 12 = - 1 ⇒ - 3 + 2 + c + 12 = - 1

⇒ c + 11 = - 1 ⇒ c = - 1 - 11 = - 12

Assim, ficamos com

( a , b , c ) F = ( - 3,2 , - 12 ) F

Resposta

( a , b , c ) F = ( - 3,2 , - 12 ) F