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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.6 - Ex. 159

Dadas as retas r   {   x - 2 3 = y - 1 1 = z   +   3 - 2 e

⎧ x = 1 + λ

  s   ⎢ y =   - 2 λ ,

      ⎩ z = 3 + 2 λ

escreva equações paramétricas da reta t que passa por ( 1 , - 2   , 3 ) e é concorrente com r e s .

Passo 1

E aí, galera! Vamos começar essa questão reescrevendo a reta r na forma paramétrica:

r   : x = 2 + 3 α ,   y = 1 + α , z = - 3 - 2 α

Então, não é difícil identificar os vetores diretores das duas retas: v → r = ( 3,1 , - 2 ) e v → s = ( 1 , - 2,2 ) .

A reta que queremos, t , passa pelo ponto A = ( 1 , - 2   , 3 ) . Na reta r , temos R = ( 2 + 3 α ,   1 + α , - 3 - 2 α ) e na reta s temos S = ( 1   +   λ , - 2 λ , 3 + 2 λ ) . Então, devemos notar que R A → = k A S → , onde:

R A → = A - R = ( 1 , - 2   , 3 ) - ( 2 + 3 α ,   1 + α , - 3 - 2 α )

R A → = ( - 1 - 3 α ,   - 3 - α ,   6 + 2 α )

A S → = S - A = ( 1   +   λ , - 2 λ , 3 + 2 λ ) - ( 1 , - 2   , 3 )

A S → = ( λ , 2 - 2 λ , 2 λ )

Passo 2

Como R A → = k A S → , então

( - 1 - 3 α ,   - 3 - α ,   6 + 2 α ) = k ( λ , 2 - 2 λ , 2 λ )

Assim, temos o seguinte sistema de equações

( 1 ) : - 1 - 3 α = k λ

( 2 ) : - 3 - α = 2 k - 2 k λ

( 3 ) : 6 + 2 α = 2 k λ

Podemos notar que o lado direito da primeira e terceira equações satisfazem ( 3 ) = 2 × ( 1 ) , então

6 + 2 α = - 2 - 6 α ⇒ 8 = - 8 α   ⇒ α   =   - 1

Agora, vamos substituir α = - 1 em ( 2 ) e ( 3 ) :

( 4 ) : -   2 = 2 k - 2 k λ

( 5 ) : 4 = 2 k λ

Somando as duas equações, obtemos

2 = 2 k   ⇒ k   =   1

Por fim, vamos substituir k =   1 em ( 5 ) :

4 = 2 λ ⇒ λ = 2

Passo 3

Agora que sabemos que α = - 1 , k   =   1 e λ = 2 , podemos obter:

R = ( 2 + 3 α ,   1 + α , - 3 - 2 α ) =   ( - 1 ,   0 , - 1 )

S = ( 1   +   λ , - 2 λ , 3 + 2 λ ) = ( 3 , - 4,7 )

Com isso, encontramos o seguinte vetor paralelo a reta

R S → = S - R = ( 3 , - 4,7 ) - ( - 1,0 , - 1 ) = ( 4 , - 4,8 ) = 4 ( 1 , - 1,2 )

Então, as equações paramétricas da reta são

x = 1 + t ,   y = - 2 - t ,   z = 3 + 2 t

onde consideramos A = ( 1 , - 2   , 3 ) como ponto inicial e v → = ( 1 , - 1,2 ) como vetor diretor.

Resposta

x = 1 + t ,   y = - 2 - t ,   z = 3 + 2 t