Enunciado

Dado B = ( 3,4 ) e sendo || A B → | | = 2   , qual é o valor máximo que a primeira coordenada de A pode assumir? E o mínimo?

Passo 1

Falaaa, beleza??? Nessa questão a gente vai usar o seguinte conceito:

Seja A o ponto de origem do vetor e B o “ponto final” , temos que o vetor AB é da forma:

v A B = B - A

Além disso, temos que o módulo do vetor é dado pela raiz da soma dos quadrados de suas coordenadas.

Em outras palavras, se v=(x,y)

v = x 2 + y 2

Passo 2

Nessa questão ele nos da o ponto B e seu módulo, então vamos começar tomando um ponto

A = x , y

A B → = B - A = 3,4 - x , y = ( 3 - x , 4 - y )

Logo:

A B → =   3 - x 2 + 4 - y 2 = 2

3 - x 2 + 4 - y 2 = 4

Passo 3

Agora nós iremos lembrar que qualquer número real ao quadrado é maior ou igual a zero, ou seja, se temos a 2 + b 2 = c 2 , o menor valor de a é zero, consequentemente o maior valor para b acontece quando a=0

Vamos analisar esses extremos:

Primeiro termo ao quadrado igual a zero, dai 3 - x 2 = 0 , então x = 3

Segundo termo ao quadrado igual a zero, 4 - y = 0   e   3 - x 2 = 4 , dai x = 1   o u   x = 5

O valor máximo, portanto, será x = 5 , uma vez que se x > 5 ,   t e m o s   3 - x 2 > 4 , o que não pode, pois forçaria o outro termo ao quadrado ser negativo (o que não ocorre).

Além disso o menor será x = 1 , uma vez que s e   x < 1 ,   t e m o s   3 - x 2 > 4

Como não podemos pegar ninguém maior que 5 e ninguém menor que 1, temos nossos valores máximos e mínimos

Resposta

Máximo: 5

Mínimo: 1

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