Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A, e indica-se por p ( A ) o conjunto de todos os subconjuntos de A. Por exemplo, se A = 1,2 , então p A = ∅ , 1 , 2 , 1,2 .

a) determine p ( A ) quando A = { ∅ ,   1 ,   1 } .

b) prove que, se um conjunto A tem n elementos, então p ( A ) tem 2 n elementos.

c) se o número de subconjuntos binários (formados de dois elementos) de um conjunto dado é 15, quantos subconjuntos tem esse conjunto.

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Nessa questão sabendo que o conjunto A é conjunto das partes e que,

A = 1,2   p A = ∅ , 1 , 2 , 1,2

Ache os itens cobrados em,

a) determine p ( A ) quando A = { ∅ ,   1 ,   1 } .

b) prove que, se um conjunto A tem n elementos, então p ( A ) tem 2 n elementos.

c) se o número de subconjuntos binários (formados de dois elementos) de um conjunto dado é 15, quantos subconjuntos tem esse conjunto.

Passo 2

Na letra (a) sabendo que p ( A ) para,

A = { ∅ ,   1 ,   1 }

Vamos ter que,

p A = { ∅ , ∅ , 1 , 1 , ∅ , 1 , ∅ , 1 , 1 , 1 , { ∅ , 1 , 1 }

Na letra (b), para provarmos que o conjunto A têm n elementos para p A que é 2 n temos,

n 1 o número de subconjuntos com dois elementos é n 2

A   é   n 0 + n 1 + n 2 + … + n n

Provando a afirmação 2 n

E na letra ( c ) para acharmos o número de subconjuntos binários para 15 termos,

n 2 = 15 n ! 2 n - 2 ! = 15

n ! 2 ! n - 2 ! = 15 n n - 1 n - 2 ! 2 n - 2 ! = 15

n ( n - 1 ) 2 = 15

n n - 1 = 30 → n = - 5     o u   n = 6

Como o conjunto n não pode ser negativo ficamos com,

2 6 = 64   subconjuntos

Espero ter ajudado.

Resposta

a) p A = { ∅ , ∅ , 1 , 1 , ∅ , 1 , ∅ , 1 , 1 , 1 , { ∅ , 1 , 1 }

b) A   é   n 0 + n 1 + n 2 + … + n n

c) 64   subconjuntos