Dado o cubo ao lado, determine O P → em função de a   , →   b → e c → , onde P é o baricentro do triângulo B D A .

(O baricentro está na mediana do triângulo e a divide na razão de 2 para 1.)

Passo 1

O livro já deu uma diquinha pra gente: O baricentro está na mediana do triângulo e a divide na razão de 2 para 1. Agora, só precisamos lembrar que a mediana é o segmento que sai de um vértice até o ponto médio oposto a ele. Além disso, como a mediana está dividida numa razão de 2 para 1, então temos do vértice até a o baricentro dois terços da mediana e do baricentro até o ponto médio temos um terço da mediana. Usando o resultado do Exercício Resolvido 3 do Capítulo 1, vemos que o vetor que sai do ponto B até o ponto médio de A D é dado por

1 2 B D → + 1 2 B A →

Então, usando a propriedade de que do vértice B até a o baricentro são dois terços da mediana, então

B P → = 2 3 ( 1 2 B D → + 1 2 B A → ) = 1 3 B D → + 1 3 B A →

Passo 2

Agora, vamos tentar escrever O P → em função de a   , →   b → e c → . Para isso, temos que tentar escrever todos os vetores como somas de O D → , B O → , O A → . Além disso, temos que notar que

O P → = O B → + B P →

Usando o resultado do passo anterior, B P → = 1 3 B D → + 1 3 B A → e B D → = c → , obtemos

O P → = O B → + B P → = O B → + 1 3 B D → + 1 3 B A → = O B → + 1 3 B D → + 1 3 ( B O → + O A → )

O P → = O B → + 1 3 B D → + 1 3 ( - O B → + O A → ) = 2 3 O B → + 1 3 B D → + 1 3 O A →

O P → = 1 3 ( a   → + 2   b →   +   c → )

Resposta

O P → = 1 3 ( a   → +   2 b →   +   c → )