Dado v →   =   ( 2,2 , 2 ) , determine um vetor u → = ( x , y , z ) , sabendo que u → é ortogonal ao vetor ( 3,2 , - 1 ) , | v →   ∧ u → | =   128 e v → ∧ u → forma ângulos agudos iguais com os vetores ( 1,0 , 0 ) e ( 0 , - 1,0 ) .

Passo 1

Fala, pessoal! Essa questão tem muitas condições para checar, mas vamos avaliar cada informação separadamente para facilitar. Vamos começar com a condição de que u → é ortogonal ao vetor ( 3,2 , - 1 ) , ou seja,

u → ⋅ ( 3,2 , - 1 ) = 0 ⇒ ( x , y , z ) ⋅ ( 3,2 , - 1 ) = 0

⇒ 3 x + 2 y - z = 0 ⇒ z = 3 x + 2 y

⇒ u → = ( x , y , 3 x + 2 y )

Vamos reservar essa equação para daqui a pouco. Agora, vamos determinar v →   ∧ u → :

⎜     i →                             j →                         k →     ⎜

⎜   2                           2                         2     ⎜ = ( 2 z - 2 y ) i → - ( 2 z - 2 x ) j → + ( 2 y - 2 x ) k →

⎜   x                           y                         z     ⎜

v →   ∧ u → = ( 2 z - 2 y , 2 x - 2 z , 2 y - 2 x )

Antes de prosseguir, vamos substituir z = 3 x + 2 y em

v →   ∧ u → = ( 2 z - 2 y , 2 x - 2 z , 2 y - 2 x ) = ( 6 x + 4 y - 2 y , 2 x - 6 x - 4 y , 2 y - 2 x )

v →   ∧ u → = ( 6 x + 2 y , - 4 x - 4 y , 2 y - 2 x )

Passo 2

Agora, vamos usar o fato de que v → ∧ u → forma ângulos agudos iguais com os vetores ( 1,0 , 0 ) e ( 0 , - 1,0 ) :

( v → ∧ u → ) ⋅ ( 1,0 , 0 ) = ( v → ∧ u → ) ⋅ ( 0 , - 1,0 )

⇒ ( 6 x + 2 y , - 4 x - 4 y , 2 y - 2 x ) ⋅ ( 1,0 , 0 ) = ( 6 x + 2 y , - 4 x - 4 y , 2 y - 2 x ) ⋅ ( 0 , - 1,0 )

⇒ 6 x + 2 y = 4 x + 4 y

⇒ 2 x = 2 y

⇒ x = y

( v → ∧ u → ) ⋅ ( 1,0 , 0 ) > 0 ⇒ ( 6 x + 2 y , - 4 x - 4 y , 2 y - 2 x ) ⋅ ( 1,0 , 0 ) > 0

⇒ 6 x + 2 y > 0

⇒ x > 0

( v → ∧ u → ) ⋅ ( 0 , - 1,0 ) > 0 ⇒ ( 6 x + 2 y , - 4 x - 4 y , 2 y - 2 x ) ⋅ ( 0 , - 1,0 ) > 0

⇒ 4 x + 4 y > 0

⇒ x > 0

Passo 3

Agora, vamos substituir x = y em

v →   ∧ u → = ( 6 x + 2 y , - 4 x - 4 y , 2 y - 2 x ) = ( 8 x , - 8 x , 0 )

Finalmente, podemos usar a condição | v →   ∧ u → | =   128 . Vamos lá!

| v →   ∧ u → | =   64 x 2 + 64 x 2 ⇒ 128 x 2 = 128 ⇒ x = 1 ⇒ y = 1

onde escolhemos somente o valor positivo por causa do resultado do Passo 2. Aeee! Chegamos ao resultado, finalmente

u → = ( x , y , 3 x + 2 y ) = ( 1,1 , 5 )

Resposta

u → = ( 1,1 , 5 )