Dado que β = 1 0 1 ,   - 1 4 1 , 2 1 - 2 é base ortogonal de R 3 , expresse v β , onde v = 8 - 4 - 3 .

Dica: Não resolva nenhum sistema linear.

Passo 1

E aí, gente, bora resolver mais um??!!

Para resolver esse exercício, vamos utilizar o seguinte teorema: Seja β = { v 1 ,   v 2 ,   … , v n } base ortogonal de V e seja u ∈ V dado. Definindo α i = < u | v i > < v i | v i >   obtemos que ∑ i = 1 n α i v i = u . Desta forma, u β = α 1 α 2 ⋮ α n .

Sabendo disso, vamos para a questão.

Passo 2

Temos que:

α 1 = < v | v 1 > < v 1 | v 1 > = 5 2

α 2 = < v | v 2 > < v 2 | v 2 > = - 27 18 = - 3 2

α 3 = < v | v 3 > < v 3 | v 3 > = 18 9 = 2

Logo, concluímos que v β = 5 2 - 3 2 2 .

Resposta

v β = 5 2 - 3 2 2