Dado o ponto A 2,3 , ache o vetor AP, onde P é o pé da perpendicular baixada de A à reta y = 5 x + 3 .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele pede para achar o vetor A - P dado que,

A ( 2,3 ) e P é o pé perpendicular a baixada de A à reta y = 5 x + 3  

Eu to vendo essa sua carinha neste exato momento

Passo 2

Nesta questão meu nobre veja que,

y - 3 = 1 5 ( x - 2 )

Se substituirmos 5 x + 3 nesta equação da reta vamos ter que,

5 x + 3 - 3 = 1 5 ( x - 2 )

Se multiplicarmos por 5

25 x = - x + 2

26 x = 2

x = 1 13 y = 5 13 + 3 = 44 13

Com isso o vetor vai ser,

u = 1 13 - 2 , 44 13 - 3 → - 25 13 ; 5 13

Passo 3

Sabe-se que retas ortogonais tem produto dos seus coeficientes angulares igual a     - 1 . Logo, a reta acima, da forma:

y = a x + b ,     tal que

a 1,5 = - 1

a = - 2 3

Porém essa reta passa pelo ponto ( 2,4 )

y = - 2 3 x + b

y = - 2 3 . 2 + b  

b = 4 + 4 3

b = 16 3

Logo a reta que é ortogonal à y = 1,5 x - 2,5   e passa pelo ponto P 2,4 y = - 2 3 x + 16 3

Com isso a projeção ortogonal do ponto P na reta y = 1,5 x - 2,5 será interseção dessas duas retas, ficando

1,5 x - 2,5 = - 2 3 x + 16 3

x 3 2 + 2 3 = 5 2 + 16 3

x 9 6 + 4 6 = 15 6 + 32 6

x 13 6 = 47 6

x = 47 13

Logo os pontos ficam 47 13 , 38 13

Resposta

47 13 , 38 13