Dado o triângulo cujos vértices são A 1,1 ,   B 4.0   e   C ( 3,4 ) , determine:

a) os ângulos A, B e C;

b) as projeções dos lados AC e BC sobre o lado AB;

c) o pé da altura relativa ao vértice C;

d) a área do triângulo ABC;

e) a interseção da bissetriz do ângulo B com o lado AC.

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão dado os vetores do triângulo A 1,1 ,   B 4.0   e   C ( 3,4 ) temos que,

a) os ângulos A, B e C;

b) as projeções dos lados AC e BC sobre o lado AB;

c) o pé da altura relativa ao vértice C;

d) a área do triângulo ABC;

e) a interseção da bissetriz do ângulo B com o lado AC.

Passo 2

Na letra (a) para acharmos os ângulos A, B e C temos que,

A ⃑ C   e   A ⃑ B

B ⃑ A   e   B ⃑ C

C ⃑ A   e   C ⃑ B

Assim temos,

Para o ângulo A ⃑ C   e   A ⃑ B :

A ⃑ C = C - A = ( 2,3 )

A ⃑ B = B - A = ( 3 ,   - 1 )

( 2,3 ) ( 3 , - 1 ) 2 2 + 3 2 3 2 + ( - 1 ) 2 = 6 - 3 130 = 3 130

Para o ângulo B ⃑ A   e   B ⃑ C :

B ⃑ A = A - B = ( - 3,1 )

B ⃑ C = C - B = ( - 1,4 )

( - 3 , 1 ) ( - 1 , 4 ) ( - 3 ) 2 + 1 2 ( - 1 ) 2 + ( 4 ) 2 = 3 + 4   170 = 7 170

E para o ângulo C ⃑ A   e   C ⃑ B :

C ⃑ A = A - C = ( - 2 , - 3 )

C ⃑ B = B - C = ( 1 , - 4 )

( - 2 , - 3 ) ( 1 , - 4 ) ( - 2 ) 2 + ( - 3 ) 2 1 2 + ( - 4 ) 2 = - 2 + 12 221 = 10 221

Passo 3

Já na letra (b) para determinarmos as projeções dos lados A ⃑ C e B ⃑ C sobre o lado A ⃑ B temos que,

P A ⃑ B A ⃑ C = 2,3 3 , - 1 3 2 + 1 2 3 2 + 1 2

P A ⃑ B A ⃑ C = 6 - 3 10 10 = 3 10 10 . 10 10 = 3 10 10

P A ⃑ B B ⃑ C = - 1,4 3 , - 1 3 2 + 1 2 3 2 + 1 2 = 7 10 10

Já na letra ( c ) para encontrarmos o pé da altura relativa ao vértice C temos que considerar P ( x , y ) como pé da altura, assim

A ⃑ P = k . A ⃑ B

A ⃑ P = P A ⃑ B A ⃑ C = K A ⃑ B

Encontrando k = 3 10

Ficando A ⃑ P = 3 10 A ⃑ B , assim P 19 10 , 7 10

Passo 4

Na letra (d) para acharmos a área do triângulo ABC temos que nos lembrar que a fórmula do triângulo vale,

b a s e   x   a l t u r a   2 , assim

A ⃑ B | | C P | | ⃑ 2 = 11 2

E para finalizar (ufa! rsrs) na letra (e) para encontrarmos a interseção da bissetriz de ângulo B com lado AC temos que descrever Q x , y ,

B ⃑ C . B ⃑ Q B ⃑ C B ⃑ Q = B ⃑ Q . B ⃑ A B ⃑ Q B ⃑ A

Simplificando esta igualdade vamos obter uma equação de primeiro grau que vale

A ⃑ Q = t .   A ⃑ C

Agora vamos chegar em duas incógnitas x,y e t

Resolvendo o sistema formado por essa equação de primeiro grau vamos ter que

23 17 - 4 10 3 17 + 10 10 , 33 71 - 11 10 3 17 + 10 10

Finalizamos com estilo

Resposta

  1. A ⃑ C   e   A ⃑ B = 3 130
  2. B ⃑ A   e   B ⃑ C = 7 170

    C ⃑ A   e   C ⃑ B = 10 221

  3. P A ⃑ B B ⃑ C = 7 10 10
  4. P 19 10 , 7 10
  5. 11 2
  6. 23 17 - 4 10 3 17 + 10 10 , 33 71 - 11 10 3 17 + 10 10