É dado o triângulo A B C com A B → = a → e A C → = b → . O ponto X é tal que A X → = 2 3 a →   +   m b → e C X → = k X B → . Determine m e k .

(Sugestão: C X →   =   C A →   +   A X → . )

Passo 1

Bem, vamos começar pela sugestão do livro e achar C X → e A X → :

A X →   =   A B   →   +   B X   →   =   a →     +   B X   → =   a →     -   X B →

C X →   =   C A   →   +   A X   →   =   - b →     +   A X →  

Agora vamos substituir as informações dadas nas duas equações acima

2 3 a →   +   m b →     =   a →     -   X B   → ⇒   X B   → =   1 3 a →   -   m b →  

k X B   → =   - b →     +   2 3 a →   +   m b →   ⇒   X B →   =   1 k (   m b →   - b →     +   2 3 a → )

Podemos igualar as duas equações através de X B → . Daí,

1 3 a →   -   m b →     =     1 k (   m b →   - b →     +   2 3 a → )

⇒ 1 3 k a →   -   k m b →   = m b →   - b →     +   2 3 a →

⇒ ( 1 3 k - 2 3 ) a →   + ( - k m - m + 1 ) b →     =   0 →

Reparem que a → e b → são não-nulos e também não são paralelos. Então, temos que

1 3 k - 2 3   =   0   ⇒   k   =   3 ⋅ 2 3   ⇒   k   =   2

- k m - m + 1   =   0

Para finalizar, vamos substituir k   =   2 na segunda equação e determinar m:

- 2 ⋅ m - m + 1   =   0   ⇒   - 3 m   =   - 1   ⇒   m   =   1 3

Resposta

  k   =   2 e m   =   1 3