Dados u → = i → - 2 j → + 3 k → e v → = 3 i → + j → + 2 k → , determine um vetor w → , ortogonal a i → e tal que u → , v → e w → sejam l.d.

Passo 1

Fala, pessoal! Vamos começar com a condição de que w → = ( x , y , z ) é ortogonal a i → = ( 1,0 , 0 ) . Assim, devemos ter

w → ⋅ i → = 0 ⇒ ( x , y , z ) ⋅ ( 1,0 , 0 ) = 0 ⇒ x = 0

Assim, w → = ( 0 , y , z ) . A outra condição que temos é que u → , v → e w → sejam l.d. Uma forma de garantir que isso ocorra é calculando o determinante dos três vetores e o igualando a zero:

⎜   0                               y                   z   ⎜

⎜   1                 - 2                   3   ⎜ = 0 ⋅ ( - 4 - 3 ) - y ⋅ ( 2 - 9 ) + z ⋅ ( 1 + 6 ) = 7 y + 7 z = 0

⎜   3                             1                     2   ⎜

Assim, vemos que y = - z . Então qualquer vetor do tipo w → = ( 0 , y , - y ) = y ( j → - k → ) atende às exigências da questão.

Resposta

w → = y ( j → - k → )