1. Dados a → =   ( 0,1 , 2 ) e b → =   ( 1 , - 1,0 ) , determine uma base ortonormal de orientação positiva ( I → , J → , K → ) tal que seu primeiro vetor seja paralelo a b → e o segundo, uma combinação linear de a → e b → .
  2. Em relação a essa base ortonormal, determine as coordenadas de v → = ( - 3,2 , 1 ) .

Passo 1

  1. E aí, gente? Vamos lembrar que numa base ortonormal positiva ( I → , J → , K → ) , devemos ter
  2. I → ∧ J → = K → (primeiro com segundo dá terceiro)

    J → ∧ K → = I → (segundo com terceiro dá primeiro)

    K → ∧ I → = J → (terceiro com primeiro dá segundo)

    O primeiro vetor tem que ser paralelo a b → . Como a base é ortonormal, então todos os seus vetores tem módulo igual a 1 . Logo,

    I → = 1 | b → | b → = 1 2 ( 1 , - 1,0 )

    Você pode verificar que | I → | = 1 .

    O segundo vetor é uma combinação linear de a → e b →

    J → = α a → + β   b → = α ( 0,1 , 2 ) + β ( 1 , - 1,0 ) = ( β , α - β , 2 α )

    Não temos nenhuma informação sobre o terceiro vetor K → = ( x , y , z ) por enquanto. Então, vamos testar as condições da base:

    I → ∧ J → = K → ⇒

    ⎜                 i →                                   j →                                   k   → ⎜

    ⎜           1 2         - 1 2                               0     ⎜ = ( - 2 α 2 - 0 ) i → - ( 2 α 2 - 0 ) j → + ( α - β 2 + β 2 ) k → = ( x , y , z )

    ⎜               β                       α - β                   2 α   ⎜

    Então,

    K → = ( x , y , z ) = ( - 2 α 2 , - 2 α 2 , α 2 ) = 2 2 ( - 2 α , - 2 α , α ) ⇒ x = y = - 2 z ,   z = 2 α 2

    A segunda condição nos dá

    J → ∧ K → = I → ⇒

    ⎜               i →                                   j →                                 k   → ⎜

    ⎜               β                       α - β               2 α   ⎜ = ( α z - β z + 4 α z ) i → - ( β z + 4 α z ) j → + ( - 2 β z + 2 α z - 2 β z ) k →

    ⎜ - 2 z         - 2 z                             z       ⎜

    ⇒ z ( 5 α - β , - β - 4 α , 2 α - 4 β ) = 1 2 ( 1 , - 1,0 )

    ⇒ 2 α 2 ( 5 α - β , - β - 4 α , 2 α - 4 β ) = 1 2 ( 1 , - 1,0 )

    ( 5 α 2 - β α , - β α - 4 α 2 , 2 α 2 - 4 β α ) = ( 1 , - 1,0 )

    A terceira entrada nos dá

    2 α 2 - 4 β α = 0 ⇒ α 2 - 2 β α = 0 ⇒ α ( α - 2 β ) = 0 ⇒ α = 0 ,   α = 2 β

    Se substituirmos α = 0 em 5 α 2 - β α = 0 ≠ 1 . Então, devemos ter α = 2 β . Substituindo esse resultado em - β α - 4 α 2 = - 1 , obtemos

    4 α 2 + β α = 1 ⇒ 16 β 2 + 2 β 2 = 1

    ⇒ β = ± 1 18 = 1 3 2

    Ok, até agora temos

    J → = ( β , α - β , 2 α ) = ( β , β , 4 β ) = 2 6 ( 1,1 , 4 )

    K → = ( - 2 z , - 2 z , z ) = 2 2 ( - 2 α , - 2 α , α ) = 2 2 ( - 4 β , - 4 β , 2 β ) = 2 2 ⋅ 2 6 ( - 4 , - 4,2 )

    K → = 1 6 ( - 4 , - 4,2 ) = 1 3 ( - 2 , - 2,1 )

    Ufa! Essa foi um pouquinho longa, mas calma aí que ainda tem mais um item.

    Passo 2

  3. Agora, vamos determinar as coordenadas de v → = ( - 3,2 , 1 ) em relação a base que obtivemos no item anterior. Assim, devemos ter

v → = a I → + b J → + c K → ⇒ ( - 3,2 , 1 ) = a 1 2 ( 1 , - 1,0 ) + b 1 3 2 ( 1,1 , 4 ) + c 3 ( - 2 , - 2,1 )

⇒ a 2 ( 1 , - 1,0 ) + b 3 2 ( 1,1 , 4 ) + c 3 ( - 2 , - 2,1 )   = ( - 3,2 , 1 )

a 2 + b 3 2 - 2 c 3 = - 3

- a 2 + b 3 2 - 2 c 3 = 2

4 b 3 2 + c 3 = 1

Somando as duas primeiras equações, obtemos

a 2 + b 3 2 - 2 c 3 - a 2 + b 3 2 - 2 c 3 = - 3 + 2

⇒ 2 b 3 2 - 4 c 3 = - 1

Multiplicamos essa equação por - 2 e somamos com a terceira equação

4 b 3 2 + c 3 - 4 b 3 2 + 8 c 3 = 1 + 2

⇒ 9 c 3 = 3       ⇒   c   =   9 9   =   1

Assim, podemos substituir o valor de c   = 1   na terceira equação e acharmos b :

4 b 3 2 + c 3 = 1     ⇒   2 3 2 b   +   1 3   =   1     ⇒   2 2 b     =   3   - 1  

⇒   b     =   1 2 .

Por fim, precisamos de a , vamos substituir c   = 1   e b     =     1 2 na segunda equação do sistema:

- a 2 + 1 3 2 ⋅ 1 2 - 2 3 = 2     ⇒ - a 2 2 + 1 6 - 2 3 = 2  

⇒ - a 2 2   = 2   - 1 6 + 2 3   ⇒ - a 2 2   = 12   - 1 + 4 6   ⇒ a   = - 15 3 2   ⇒ a   = - 5 2

Portanto,

v → = a I → + b J → + c K →   = - 5 2 I → + 1 2 J → + K →    

Resposta

  1. ( 1 2 ( 1 , - 1,0 ) , 1 3 2 ( 1,1 , 4 ) ,   1 3 ( - 2 , - 2,1 ) ) ;
  2. v →   =   - 5 2 I →   +   1 2 J →   +   K   →