Enunciado

Dados u →   =   ( 3 , - 1,5 ) e v →   =   ( 1,2 , - 3 ) , determine um vetor w → , ortogonal ao vetor i → = ( 1,0 , 0 ) e tal que w → ⋅ u →   = 9 e w → ⋅ v →   = 4 .

Passo 1

E aí, pessoal? O vetor que nós queremos pode ser escrito numa forma genérica w → = ( x , y , z ) . Além disso, ele deve ser ortogonal ao vetor i → = ( 1,0 , 0 ) , ou seja, w → ⋅ i → = 0 . Então, basicamente, temos três condições:

w → ⋅ i → = 0 ⇒ ( x , y , z ) ⋅ ( 1,0 , 0 ) = 0 ⇒ x = 0

w → ⋅ u →   = 9 ⇒ ( x , y , z ) ⋅ ( 3 , - 1,5 ) = 9 ⇒ 3 x - y + 5 z = 9

w → ⋅ v →   = 4 ⇒ ( x , y , z ) ⋅ ( 1,2 , - 3 ) = 4 ⇒ x + 2 y - 3 z = 4

Vamos substituir o resultado da primeira equação ( x = 0 ) nas outras duas:

- y + 5 z = 9

2 y - 3 z = 4

Agora, vamos multiplicar a primeira por 2 e somar com a segunda:

- 2 y + 10 z + 2 y - 3 z = 18 + 4 ⇒ 7 z = 22 ⇒ z = 22 7

O próximo passo é substituir z = 22 7 na primeira equação:

- y + 5 z = 9 ⇒ - y + 110 7 = 9 ⇒ y = 110 7 - 9 = 110 - 63 7 = 47 7

Juntando tudo, ficamos com

w → = ( x , y , z ) = ( 0 , 47 7 , 22 7 ) .

Resposta

w → = ( 0 , 47 7 , 22 7 )