Dados A(2, 1, 3), B(4, 1, 1) e C(0, 0, 0), escreva as equações paramétricas da reta que contém a mediana, relativa ao lado AB, do triângulo ABC.

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Geometria Analítica.

Nesse primeiro momento precisamos notar que ao falar em mediana, devemos lembrar que se trata da reta que vai de um vértice do triângulo até o ponto médio do lado oposto. Como o problema cita a mediana relativa ao lado AB, vamos determinar as coordenadas do ponto médio desse lado.

O ponto médio que vamos chamar de M possui coordenadas que são a média aritmética entre os pontos B e C, logo:

X M =   X A + X B 2 = 2 + 4 2 = 3

Y M =   Y A + Y B 2 = 1 + 1 2 = 1

Z M =   Z A + Z B 2 = 3 + 1 2 = 2

Então as coordenadas de M são 3,1 , 2 .

Passo 2

Em seguida, para determinar a reta que passará entre o vértice C e o ponto médio M, devemos descobrir o vetor suporte da mediana. Que pode ser dado por:

C M → = M - C = 3,1 , 2 - 0,0 , 0   = 3 - 0 ,   1 - 0 , 2 - 0 = 3 , 1 , 2  

Passo 3

As equações paramétricas da reta podem ser definidas a partir da seguinte expressão:

r : C +   M C → . t

Como já sabemos as coordenadas do vértice C e do vetor suporte, teremos que:

r : ( 0,0 , 0 ) +   3,1 , 2 . t

r :   3 t , t , 2 t

Logo, as equações são:

x = 3 t y =   t   z =   2 t para t   ∈ R

Resposta

As equações paramétricas da reta são:

x = 3 t y =   t   z =   2 t para t   ∈ R