Dados a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 e os pontos P 1,1 , 1   e   Q 2,2 , 3 ,

a) verifique que P está no interior e que Q está no exterior da esfera;

b) determine as interseções da esfera com a reta definida pelos pontos P e Q.

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele nos da a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 e os pontos P 1,1 , 1   e   Q 2,2 , 3 para acharmos o que é pedido nas opções abaixo,

a) verifique que P está no interior e que Q está no exterior da esfera;

b) determine as interseções da esfera com a reta definida pelos pontos P e Q.

Passo 2

Na letra (a) para verificarmos se o ponto P está no interior e o ponto Q no exterior temos,

Podemos mostrar que D O , P é menor que D ( 0 , Q ) ,

D O , P = 1 2 + 1 2 + 1 1 = 3

D 0 , Q = 2 2 + 2 2 + 3 2 = 17

E sabendo que o centro da esfera é O ( 0,0 , 0 ) podemos mostrar que D O , P e maior que o D ( 0 , Q )

Na letra (b) para determinarmos que o ponto B tal que A B seja um diâmetro da esfera temos que,

B ( 2,2 , 3 )

A B ( 1,1 , 2 )

A partir daí utilizando as equações paramétricas temos que,

x = 2 + 1 t

y = 2 + 1 t

z = 3 + 2 t , vamos ter que

2 + 52 6 , 2 + 52 6 , - 2 + 2 52 6 ,   2 - 52 6 , 2 - 52 6 , - 2 - 2 52 6

Resposta

a) D O , P = 1 2 + 1 2 + 1 1 = 3

D 0 , Q = 2 2 + 2 2 + 3 2 = 17

podemos ver que D O , P e maior que o D ( 0 , Q )

b) 2 + 52 6 , 2 + 52 6 , - 2 + 2 52 6 ,   2 - 52 6 , 2 - 52 6 , - 2 - 2 52 6