Dados os espaços W 1 = { s + t , t - s , s + t , 2 s + t   Є   R 4 |   s , t   Є   R }   e W 2 = { x , y , z , w   Є   R 4 | y + z = 0   e   x - w + z = 0 } , determine base e dimensão de :

  1. W 1
  2. W 2
  3. W 1 + W 2

Passo 1

Não precisa entrar em desespero porque essas questão é moleza, acredita? Olha só! Interpretando a questão, nós temos espaço com equações parametrizadas e falta descobrir as bases e a dimensão, até aqui tranquilo, mas como a gente vai fazer isso?

a)

No item A, para determinarmos a base de W 1 basta “desparametrizar” os termos, ou seja, escrever a sequência em função de s , t   Є   R , temos:

s 1 , - 1,1 , 2 + t ( 1,1 , 1,1 )

Portanto a base de W 1 : { 1 , - 1,1 , 2   ,   1,1 , 1,1 } , como a base depende de s , t , a dimensão da base é 2.

Passo 2

b)

No ítem B, vamos repetir o mesmo processo do ítem A, "desparametrizar" W 2 , temos:

s 1,0 , 0,1 + t ( - 1 , - 1,1 , 0 )

Portanto a base de W 2 : { 1,0 , 0,1   , ( - 1 , - 1,1 , 0 ) } , como a base depende de s , t , a dimensão da base é 2.

Passo 3

c)

E por fim, o item C é junção de W 1 e W 2 , portanto, vamos formar uma matriz com as base encontradas no ítem A e B, depois escalonar ao máximo, assim obteremos como:

W 1 + W 2 = { 1,0 , 0,1   ,   - 1 , - 1,1 , 0 ,   1,1 , 1,1 }

Por termos 3 termos, a dimensão da base é 3.

Resposta

  1. 2; W 1 : { 1 , - 1,1 , 2   ,   1,1 , 1,1 }
  2. 2; W 2 : { 1,0 , 0,1   , ( - 1 , - 1,1 , 0 ) }
  3. 3; W 1 + W 2 = { 1,0 , 0,1   ,   - 1 , - 1,1 , 0 ,   1,1 , 1,1 }