Dados u →   = 2 i →   -   j →   +   3 k → , v →   =   4 i →   +   5 j →   - k → e w →   =   3 i →   - j →   +   m k → , pedem-se:

  1. | u | → ,   | v → | ,   u → ⋅ v → e o coseno do ângulo entre u → e v → ;
  2. o valor de m para que u → e w → sejam ortogonais;
  3. o vetor projeção de u → na direção w → , para m   = 1   .

Passo 1

E aí, gente? Antes de começar, vamos escrever os vetores numa notação mais familiar

u →   = 2 i →   -   j →   +   3 k → = ( 2 , - 1,3 ) ,

v →   =   4 i →   +   5 j →   - k → = ( 4,5 , - 1 ) e

w →   =   3 i →   - j →   +   m k → = ( 3 , - 1 , m )

  1. Usando os vetores que obtivemos acima, é fácil ver que
  2. | u | → = 4 + 1 + 9 = 14

    | v → | = 16 + 25 + 1 = 42

    u → ⋅ v → = ( 2 , - 1,3 ) ⋅ ( 4,5 , - 1 ) = 8 - 5 - 3 = 0

    Como u → ⋅ v → = 0 , então o ângulo entre u → e v → é 90 º . Então o cosseno desse ângulo é 0

    Passo 2

  3. Vamos calcular o produto interno de u → e w → , igualar a zero e descobrir qual valor de m satisfaz essa condição:
  4. u → ⋅ w →   = ( 2 , - 1,3 ) ⋅ ( 3 , - 1 , m ) = 6 + 1 + 3 m = 7 + 3 m = 0 ⇒ m = - 7 3 .

    Passo 3

  5. O vetor projeção de u → na direção w → , para m   = 1 (ou seja, w →   = ( 3 , - 1,1 ) ) é dado através da fórmula:

p r o j   w → u → = u → ⋅ w → | w → | 2 w → = ( 2 , - 1,3 ) ⋅ ( 3 , - 1,1 ) ( 9 + 1 + 1 ) 2 ( 3 , - 1,1 ) = 6 + 1 + 3 11 ( 3 , - 1,1 ) = 10 11 ( 3 , - 1,1 )

Resposta

  1. | u | → = 14 , | v → | = 42 , u → ⋅ v → = 0 c o s   θ = 0
  2. m = - 7 3
  3. p r o j   w → u → = 10 11 ( 3 , - 1,1 )