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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.5 - Ex. 125

Dados O A →   =   a →   = ( 1,1 , 0 ) , O B →   = b →   = ( 0,1 , 1 ) e O C →   = c →   = ( 2,1 , 0 ) , pede-se um vetor O P → = x → tal que, simultaneamente:

  1. x → é coplanar com a →   ∧ b → e b → ∧ c → ,
  2. x → é ortogonal a a →   +   c → ,
  3. o volume do tetraedro O P B C é o dobro do volume do tetraedro O A B C .

Passo 1

  1. Como x → é coplanar com a →   ∧ b → e b → ∧ c → , então podemos escrever esse vetor como combinação linear dos demais x → = α a →   ∧ b → + β b → ∧ c → . Então, precisamos de a →   ∧ b → e b → ∧ c → :

    2. a →   ∧ b → =

    ⎜                 i →                             j →                               k   →   ⎜

    ⎜               1                           1                               0     ⎜ = ( 1 - 0 ) i → - ( 1 - 0 ) j → + ( 1 - 0 ) k →   = ( 1 , - 1,1 )

    ⎜               0                           1                               1     ⎜

    b → ∧ c → =

    ⎜                 i →                             j →                               k   →   ⎜

    ⎜               0                           1                               1     ⎜ = ( 1 - 0 ) i → - ( 0 - 2 ) j → + ( 0 - 2 ) k →   = ( 1,2 , - 2 )

    ⎜               2                           1                               0     ⎜

    Ok, agora podemos obter

    x → = α a →   ∧ b → + β b → ∧ c → = α ( 1 , - 1,1 ) + β ( 1,2 , - 2 ) = ( α + β , 2 β - α , α - 2 β )

    Passo 2

  2. Agora, vamos explorar a condição de que x → é ortogonal a a →   +   c → = ( 1,1 , 0 ) + ( 2,1 , 0 ) = ( 3,2 , 0 ) . Nesse caso, o produto interno de x → com a →   +   c → é nulo:

    3. x → ⋅ ( a →   +   c → ) = 0

    ⇒ ( α + β , 2 β - α , α - 2 β ) ⋅ ( 3,2 , 0 ) = 0

    ⇒ 3 ( α + β ) + 2 ( 2 β - α ) = 0

    ⇒ 3 α + 3 β + 4 β - 2 α = 0

    ⇒ 7 β + α = 0 ⇒ α = - 7 β

    Assim, x → = ( α + β , 2 β - α , α - 2 β ) = ( - 6 β , 9 β , - 9 β )

    Passo 3

  3. Agora, vamos analisar a última informação que temos: o volume do tetraedro O P B C é o dobro do volume do tetraedro O A B C . O volume de um tetraedro é dado pelo produto misto dividido por 6. Então vamos calcular os produtos mistos necessários:

[ O A → , O B → , O C → ] =

⎜   1                 1                 0   ⎜

⎜   0                 1                 1   ⎜ = 1 ⋅ ( 0 - 1 ) - 1 ⋅ ( 0 - 2 ) + 0 ⋅ ( 0 - 2 ) = - 1 + 2 + 0 = 1

⎜   2                 1                 0   ⎜

[ O P → , O B → , O C → ] =

⎜ -   6 β                 9 β                 - 9 β     ⎜

⎜                   0                         1                                   1       ⎜ = - 6 β ( 0 - 1 ) - 9 β ( 0 - 2 ) - 9 β ( 0 - 2 ) = 6 β + 18 β + 18 β

⎜                   2                         1                                   0       ⎜

⇒ [ O P → , O B → , O C → ] = 42 β

Com isso, conseguimos obter os volumes dos tetraedros O P B C e O A B C :

V O A B C = 1 6 | [ O A → , O B → , O C → ] | = 1 6

V O P B C = 1 6 | [ O P → , O B → , O C → ] | = 1 6 | 42 β | = ± 7 β

Agora, como o volume do tetraedro O P B C é o dobro do volume do tetraedro O A B C , então

V O P B C = 2 V O A B C ⇒ ± 7 β = 2 6 = 1 3 ⇒ β = ∓ 1 3 ⋅ 7

Finalmente, conseguimos obter o vetor x → = ( - 6 β , 9 β , - 9 β ) = ± 1 7 ( 2 , - 3,3 ) .

Resposta

x → = ± 1 7 ( 2 , - 3,3 )