Dados O A → = a →   , O B → = b →   e O C → = c →   e um ponto P   tal que 3 P B → - 2 P C →   =   A B →   -   A P → , é possível decidir se os vetores a →   , b → e c → são l.i. ou l.d.? Demonstre sua afirmação.

Passo 1

Como vai, galera? A melhor maneira de começar essa questão é tentar reescrever os vetores P B → , P C →   , A B → ,   A P → em termos de O A → = a →   , O B → = b →   , O C → = c →   e O P → . Vamos nessa?

P B → = P O → + O B → = - O P → + O B → = - O P → + b →

P C → = P O → + O C → = - O P → + O C → = - O P → + c →

A B → = A O → + O B → = - O A → + O B → = - a → + b →

A P → = A O → + O P → = - O A → + O P → = - a → + O P →

Passo 2

Vamos usar a relação que o enunciado nos deu 3 P B → - 2 P C →   =   A B →   -   A P → . O lado esquerdo da equação se torna:

3 P B → - 2 P C → = 3 ( - O P → + b → ) - 2 ( - O P → + c → ) = - O P → + 3 b → - 2 c →

Por sua vez, o lado direito se torna:

A B →   -   A P → = - a → + b → - ( - a → + O P → ) = b → - O P →

Com isso, obtemos

3 P B → - 2 P C →   =   A B →   -   A P →

⇒ - O P → + 3 b → - 2 c → = b → - O P →

⇒ 2 b → - 2 c → = 0 →

⇒ b → = c →

Como temos dois vetores que são iguais, então b → e c → são l.i. Consequentemente, o conjunto a →   , b → e c → é l.d.

Resposta

Os vetores são l.d.