a) Dados os pontos   A ( 2,1 ,   1 ) ,   B ( - 1 ,   2 ,   1 ) e C ( 3   ,   - 2 ,   4 ) , determine no plano 2 x   -   y   +   5 z   =   2   um ponto equidistante dos vértices do triângulo ABC.

b) Determine o circuncentro do triângulo ABC.

Passo 1

Oi oi meus Xuxus!

Falou em distância entre pontos, o que a gente faz? Aplica a fórmula : D = ( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

Vamos supor que esse ponto equidistante tenha as coordenadas ( x , y , z ) . Então a distância entre ele e o ponto A , B   e   C será, respectivamente:

D A = ( x - 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z - 1 ) 2 e D B = ( x + 1 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z - 1 ) 2 e D C = ( x - 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z - 4 ) 2

Porém, esse ponto é equidistante (tem a mesma distância) de A , B   e   C , então D A = D B = D C = D

Assim, D A 2 = D 2 = ( x - 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z - 1 ) 2 = x 2 - 4 x + y 2 - 2 y + z 2 - 2 z + 6     ( 1 )

D B 2 = D 2 = ( x + 1 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z - 1 ) 2 = x 2 + 2 x + y 2 - 4 y + z 2 - 2 z + 6     ( 2 )

D C 2 = D 2 = ( x - 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z - 4 ) 2 = x 2 - 6 x + y 2 + 4 y + z 2 - 8 z + 29     ( 3 )

Passo 2

Se fizermos a equação ( 1 ) - ( 2 ) , temos:

0 = - 6 x + 2 y

3 x = y     ( 4 )

Se fizermos a equação ( 1 ) - ( 3 ) , temos:

0 = 2 x - 6 y + 6 z - 23     ( 5 )

Vamos, por fim, substituir ( 4 ) em ( 5 ) :

0 = 2 x - 6 ( 3 x ) + 6 z - 23

16 x + 23 = 6 z

z = 8 x 3 + 23 6

Fazendo x = t , temos:

x = t

y = 3 t

z = 8 t 3 + 23 6

Essa é a equação paramétrica da reta que contém todos os pontos equidistantes de A , B , C .

Então, só falta encontrar o ponto que pertença à essa reta e ao plano 2 x   -   y   +   5 z   =   2   !

Para isso, vamos substituir as equações da reta na equação do plano:

2 t   -   3 t   +   5 ( 8 t 3 + 23 6 )   =   2

6 t - 9 t + 40 t 3 = 12 - 115 6

37 t 3 = - 103 6

t = - 103 74

Assim,

x = - 103 74

y = - 309 74

z = - 824 222 + 851 222 = 27 222

O ponto é ( - 103 74 , - 309 74 , 27 222 )

Passo 3

Para encontrar o circuncentro temos que achar a interseção da reta que contém todos os pontos equidistantes de A , B , C com o plano que contém os três pontos.

A equação do plano é dada por a ( x - x 0 ) + b ( y - y 0 ) + c ( z - z 0 ) = 0

Sendo, n = ( a , b , c ) o vetor normal ao plano e ( x 0 , y 0 , z 0 )   um ponto do plano, podemos usar o ponto B.

Nós temos três pontos do plano, mas não sabemos o vetor normal. E agora?

Por sorte o vetor normal pode ser obtido por n = A B   → × A C   → = ( - 3,1 , 0 ) × ( 1 , - 3,3 ) = 3 i + 9 k - k + 9 j = ( 3,9 , 8 )

Então, 3 ( x + 1 ) + 9 ( y - 2 ) + 8 ( z - 1 ) = 0

3 x + 3 + 9 y - 18 + 8 z - 8 = 0

3 x + 9 y + 8 z - 23 = 0

Então, só falta encontrar o ponto que pertença à essa reta e ao plano 3 x + 9 y + 8 z - 23 = 0 !

Para isso, vamos substituir as equações da reta na equação do plano:

3 t   + 27 t   +   8 ( 16 t 6 + 23 6 )   =   23

18 t + 162 t + 128 t 6 = 138 - 184 6

308 t 6 = - 46 6

t = - 23 154

Assim,

x = - 23 154

y = - 69 154

z = - 368 924 + 3542 924 = 3174 924 = 529 154

O ponto é ( - 23 154 , - 69 154 , 529 154 )

Resposta

Vide passos.