a) Dados os pontos, determine no plano um ponto equidistante dos vértices do triângulo ABC.
b) Determine o circuncentro do triângulo ABC.
Passo 1
Oi oi meus Xuxus!
Falou em distância entre pontos, o que a gente faz? Aplica a fórmula :
Vamos supor que esse ponto equidistante tenha as coordenadas . Então a distância entre ele e o ponto será, respectivamente:
e e
Porém, esse ponto é equidistante (tem a mesma distância) de , então
Assim,
Passo 2
Se fizermos a equação , temos:
Se fizermos a equação , temos:
Vamos, por fim, substituir em :
Fazendo , temos:
Essa é a equação paramétrica da reta que contém todos os pontos equidistantes de .
Então, só falta encontrar o ponto que pertença à essa reta e ao plano !
Para isso, vamos substituir as equações da reta na equação do plano:
Assim,
O ponto é
Passo 3
Para encontrar o circuncentro temos que achar a interseção da reta que contém todos os pontos equidistantes de com o plano que contém os três pontos.
A equação do plano é dada por
Sendo, o vetor normal ao plano e um ponto do plano, podemos usar o ponto B.
Nós temos três pontos do plano, mas não sabemos o vetor normal. E agora?
Por sorte o vetor normal pode ser obtido por
Então,
3
Então, só falta encontrar o ponto que pertença à essa reta e ao plano !
Para isso, vamos substituir as equações da reta na equação do plano:
3
Assim,
O ponto é
Resposta
Vide passos.