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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.6 - Ex. 148

Dados A   =   ( 1,0 , - 2 ) ,   B   =   ( 1,3 , 5 ) ,   C   =   ( - 4,2 , 0 ) e a reta r   { x - 3 2 = y + 3 = z + 1 2 , determine um ponto D na reta r de modo que o volume do tetraedro A B C D seja 31 3 .

Passo 1

Fala, pessoal! Vamos começar encontrando a equação paramétrica da reta:

x - 3 2 = y + 3 = z + 1 2 = t

⇒ x = 3 + 2 t ;   y = t - 3 ;   z = 2 t - 1

Assim, o ponto D pertencente a reta deve ser da forma D = ( 3 + 2 t , t - 3,2 t - 1 ) .

Agora, vamos tentar calcular o volume do tetraedro A B C D , que é dado pela fórmula

V = 1 6 | [ A B → , A C → , A D → ] |

Então, temos que obter os vetores:

A B → = B - A = ( 1,3 , 5 ) -   ( 1,0 , - 2 ) = ( 0,3 , 7 )

A C → = C - A =   ( - 4,2 , 0 ) -   ( 1,0 , - 2 ) = ( - 5,2 , 2 )

A D → = D - A = ( 3 + 2 t , t - 3,2 t - 1 ) -   ( 1,0 , - 2 ) = ( 2 + 2 t , t - 3,2 t + 1 )

Passo 2

Agora, vamos calcular o produto misto. Para isso, precisamos usar o nosso velho amigo determinante:

[ A B → , A C → , A D → ] =

⎜               0                             3                                     7           ⎜

⎜ - 5                             2                                     2           ⎜ = ( 0 ) - 3 ( - 10 t - 5 - 4 - 4 t ) + 7 ( - 5 t + 15 - 4 t - 4 )

⎜   2 + 2 t           t - 3             2 t + 1   ⎜

⇒ [ A B → , A C → , A D → ] = 3 ( 14 t + 9 ) + 7 ( - 9 t + 11 ) = 42 t + 27 - 63 t + 77

⇒ [ A B → , A C → , A D → ] = - 21 t + 104

Assim, o volume do tetraedro será:

V = 1 6 [ A B → , A C → , A D → ] = 1 6 ( - 21 t + 104 )

Passo 3

Para que o volume do tetraedro seja igual a 31 3 , devemos ter

1 6 ( - 21 t + 104 ) = 31 3 ⇒ - 21 t + 104 = 6 ⋅ 31 3 = 62

⇒ - 21 t = - 42

⇒ t = 2

Agora, substituímos t = 8 11 na expressão para o ponto D :

D = ( 3 + 2 t , t - 3,2 t - 1 ) = ( 3 + 2 ⋅ 2,2 - 3,2 ⋅ 2 - 1 ) = ( 7 , - 1,3 )

Resposta

D = ( 7 , - 1,3 )