Dados três pontos A ,   B e C fixos e P um ponto qualquer, calcule P A → em função de A B → e A C → , sabendo que P A → + 2 P B   → + P C →   =   0 →   .

Passo 1

Vamos começar reescrevendo A B → e A C → em termos do ponto P. Ou seja,

A B →   =   A P →   +   P B →   =   - P A →   +   P B →

A C →   =   A P →   +   P C →   =   - P A →   +   P C →

Então, vamos subtrair a segunda equação da primeira:

A B →   - A C → =   P B →   - P C →

Agora, temos que substituir, na relação acima, a informação de que P A → + 2 P B   → + P C →   =   0 → , em P C → . Dessa forma, temos:

A B →   - A C → =   P B   → + P A → + 2 P B   →

⇒ A B →   - A C → =   P A →   + 3 P B →

Mas, temos que atentar que P B →   =   P A →   +   A B → . Então,

A B →   - A C → =   P A →   + 3 P A →   + 3   A B →

⇒ - 2 A B →   - A C → =   4 P A →

⇒ P A → = - 1 2 A B →   - 1 4 A C →

Resposta

P A → = - 1 2 A B →   - 1 4 A C →