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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.4 - Ex. 105

Dados os vetores u →   =   ( 1 , - 1,1 ) e v →   =   ( 1,0 , - 1 ) , ache a solução geral de v →   =   u → ∧ x →   . Determine uma solução particular x → 0 dessa equação que seja ortogonal ao vetor w → = ( 1,1 , 1 ) .

Passo 1

O vetor que queremos será do tipo x → = ( a , b , c ) . Ok, então vamos calcular u → ∧ x → :

⎜               i →                             j →                         k →     ⎜

⎜           1             - 1                         1       ⎜ = ( - c - b ) i → - ( c - a ) j → + ( a + b ) k →

⎜           a                             b                         c       ⎜

Assim, v →   =   u → ∧ x → nos fornece a seguinte relação

( 1,0 , - 1 ) =   ( - c - b , a - c , a + b )

e, consequentemente, o seguinte sistema de equações:

- c - b = 1

a - c = 0 ⇒ c = a

a + b = - 1 ⇒ b = - 1 - a

Então, a solução geral de v →   =   u → ∧ x → é do tipo x → = ( a , b , c ) = ( a , - 1 - a , a ) .

Passo 2

Agora, vamos tentar achar uma solução particular para o vetor x → , mas dessa vez queremos um x → 0 que seja ortogonal ao vetor w → = ( 1,1 , 1 ) . Isso significa que devemos ter

x → 0 ⋅ w → = 0 ⇒ ( a , - 1 - a , a ) ⋅ ( 1,1 , 1 ) = 0 ⇒ a - 1 - a + 1 + a = 0 ⇒ a = 0

Substituindo a = 0 em x → 0 , obtemos

x → 0 = ( a , - 1 - a , a ) = ( 0 , - 1,0 )

Resposta

x → = ( a , - 1 - a , a )

x → 0 = ( 0 , - 1,0 )