Dados os vetores u →   =   ( 1 , - 1,2 ) , v →   =   ( 2 , - 1,5 ) e w →   =   ( 3,1 , 10 ) , determine um vetor x →   tal que x →   e v → sejam l.d. e u → + x → e w → sejam l.d..

Passo 1

Fala pessoal, vamos utilizar as duas condições dadas na questão para descobrir o vetor x →   = ( x , y , z ) :

x →   =   α v →     ⇒   ( x , y , z ) = α ( 2 , - 1,5 )   ⇒   ( x ,   y , z )   =   ( 2 α , - α , 5 α )

e

( u → + x →   ) = β w →   ⇒ ( 1 , - 1,2 ) + ( x , y , z ) = β ( 3,1 , 10 ) ⇒ ( x + 1 ,   y - 1 , z + 2 ) = ( 3 β , β , 10 β )

Agora vamos subtrair a segunda equação da primeira:

( - 1,1 , - 2 )   =   ( 2 α - 3 β ,   - α - β , 5 α - 10 β )  

da segunda relação, temos

- α - β   =   1   ⇒ β = - α - 1

Passo 2

Agora, precisamos modificar a segunda equação ( x → + v →   ) = β w →   e somar com a primeira x →   =   α v →   . Vamos lá!

( 2 x + 1 ,   2 y - 1,2 z + 2 )   =   ( 2 α   +   3 ⋅ ( - α - 1 ) , - α - α - 1,5 α   +   10 ⋅ ( - α - 1 ) )

⇒ ( 2 x + 1 ,   2 y - 1,2 z + 2 )   =   ( - α   -   3 , - 2 α - 1 , - 5 α   -   10 )

Temos o seguinte sistema:

2 x + 1   =   - α   -   3   ⇒   x   = - 1 2 α - 2

  2 y - 1   =   - 2 α - 1   ⇒   y   =   - α

2 z + 2 = - 5 α - 10 ⇒ z = - 5 2 α - 6

Para finalizar, basta descobrir o valor de α . Para isso, vamos substituir os valores das coordenadas em ( x ,   y , z )   =   ( 2 α , - α , 5 α ) . Logo,

( - 1 2 α   - 2 , - α , - 5 2 α - 6 )   =   ( 2 α , - α , 5 α )

Da primeira relação, temos:

- 1 2 α - 2 = 2 α ⇒ - 5 2 α   = 2 ⇒ α   = - 4 5

Portanto,

x   = - 1 2 α   - 2 = 2 5 - 2   = - 8 5

y   = - α   =   4 5  

z   = - 5 2 α   - 6   = 2   - 6   = - 4

⇒   x → = ( x , y , z )   = ( - 8 5 , 4 5 , - 4 )

Resposta

x → = ( - 8 5 , 4 5 , - 4 )