Dados os vetores u →   =   ( - 1,1 , - 2 ) e v → = ( x , y , 0 ) , determine x e y , sabendo que | u →   ∧ v → | =   32 e que o vetor u →   ∧   v → forma ângulos agudos iguais com os vetores i → e j → .

Passo 1

Fala, galera! A primeira coisa a ser feita nessa questão é encontrar u →   ∧   v → , onde u →   =   ( - 1,1 , - 2 ) e v → = ( x , y , 0 ) . Então, temos

⎜               i →                             j →                         k →     ⎜

⎜ - 1                           1         - 2     ⎜ = ( 0 + 2 y ) i → - ( 0 + 2 x ) j → + ( - y - x ) k →

⎜               x                           y                       0     ⎜

⇒ u →   ∧   v → = ( 2 y , - 2 x , - y - x )

Passo 2

Prontinho, agora vamos verificar as condições para que u →   ∧   v → forme ângulos agudos iguais com os vetores i → = ( 1,0 , 0 ) e j → = ( 0,1 , 0 ) :

( u →   ∧   v → ) ⋅ i → = ( u →   ∧   v → ) ⋅ k → ⇒ ( 2 y , - 2 x , - y - x ) ⋅ ( 1,0 , 0 ) = ( 2 y , - 2 x , - y - x ) ⋅ ( 0,1 , 0 )

⇒ 2 y = - 2 x ⇒ x = - y

( u →   ∧   v → ) ⋅ i → > 0 ⇒ ( 2 y , - 2 x , - y - x ) ⋅ ( 1,0 , 0 ) > 0 ⇒ 2 y > 0 ⇒ y > 0

( u →   ∧   v → ) ⋅ k → > 0 ⇒ ( 2 y , - 2 x , - y - x ) ⋅ ( 0,0 , 1 ) > 0 ⇒ - 2 x > 0 ⇒ x < 0

Isso é tudo que precisamos por enquanto.

Passo 3

Agora vamos usar os resultados do passo anterior para obter | u →   ∧ v → | =   32 :

| u →   ∧ v → | = ( 2 y ) 2 + ( - 2 x ) 2 + ( - y - x ) 2 = 4 y 2 + 4 x 2 + x 2 + 2 x y + y 2

| u →   ∧ v → | = 5 y 2 + 5 x 2 + 2 x y = 32

⇒ 5 y 2 + 5 x 2 + 2 x y = 32

Vamos substituir x = - y na equação acima:

5 y 2 + 5 x 2 + 2 x y = 32 ⇒ 5 y 2 + 5 y 2 - 2 y 2 = 32

⇒ 8 y 2 = 32 ⇒ y 2 = 4 ⇒ y = 2

Onde só escolhemos o valor positivo por causa da condição que estudamos no Passo 1. Assim, y = 2 , x = - 2 e v → = ( - 2,2 , 0 ) .

Resposta

v → = ( - 2,2 , 0 )