Dados os vetores a → = ( 1 , - 1,0 ) , b → = ( 3 , - 1,1 ) , c → = ( 2,2 , 1 ) e d → = ( 4 , - 3,1 ) , determine um vetor v → = ( x , y , z ) tal que v → + a → seja paralelo a b → e v → + c → seja paralelo a d → .

Passo 1

O primeiro passo é construir as duas relações:

( v →   +   a →   ) / /   b →     ⇒  

( x , y , z ) + ( 1 , - 1,0 ) = α ( 3 , - 1,1 )   ⇒   ( x + 1 ,   y - 1 , z )   =   ( 3 α , - α , α )

e

( v →   +   c →   ) / /   d →     ⇒   ( x , y , z ) + ( 2,2 , 1 ) = β ( 4 , - 3,1 )   ⇒   ( x + 2 ,   y + 2 , z + 1 )   =   ( 4 β , - 3 β , β )

Agora vamos subtrair a segunda equação da primeira:

( - 1 , - 3 , - 1 )   =   ( 3 α - 4 β ,   - α + 3 β ,   α - β )   ⇒   α - β   =   - 1   ⇒ β   = 1   +   α  

Passo 2

Podemos substituir o resultado β   = 1   +   α na segunda equação, do passo anterior, e somar a primeira com a segunda equação modificada:

( 2 x + 3,2 y + 1,2 z + 1 )   = ( 3 α   +   4 + 4 α ,   - α - 3 - 3 α ,   α + 1 + α )  

⇒ ( 2 x + 3,2 y + 1,2 z + 1 )   = ( 7 α   +   4 ,   - 4 α - 3,2 α + 1 )  

Temos o seguinte sistema:

2 x + 3   =   7 α   +   4   ⇒   x   =   7 2 α   +   1 2

2 y + 1   =   - 4 α - 3   ⇒   y   =   - 2 α - 2

2 z + 1   =   2 α + 1   ⇒ z   =   α

Para finalizar, basta descobrir o valor de α . Para isso, vamos substituir os valores das coordenadas em   ( x + 1 ,   y - 1 , z )   =   ( 3 α , - α , α ) . Logo,

( 7 2 α + 1 2 + 1 , - α - 3 2 - 1 , α )   =   ( 3 α , - α , α ) ⇒ ( 7 2 α + 3 2 , - 2 α - 3 , α )   =   ( 3 α , - α , α )

⇒ 7 2 α   +   3 2   =   3 α ;     - 2 α - 3   =   - α ;   α   = α

Da primeira relação, temos:

7 2 α   +   3 2   =   3 α   ⇒   1 2 α   =   - 3 2   ⇒   α   =   - 3

Portanto,

x   =   7 2 α   +   1 2   =   - 21 2 +   1 2   =   - 10

y   =   - 2 α - 2   =   6   - 2   = 4  

z   =   α   =   - 3

⇒   v → = ( x , y , z )   = ( - 10,4 , - 3 )

Resposta

v → = ( - 10,4 , - 3 )