Dados os vetores u →   = ( 1,1 , 0 ) e v → = ( 0,1 , - 1 ) , determine um vetor x → , de módulo 1, que seja ortogonal a u → e que forme um ângulo de 45 ° com o vetor v → .

Passo 1

Fala, galerinha! Olha só, como x → = ( a , b , c ) é ortogonal a u → , então

x → ⋅ u → = 0 ⇒ ( a , b , c ) ⋅ ( 1,1 , 0 ) = 0 ⇒ a + b = 0 ⇒ b = - a

Agora, vamos calcular o ângulo entre x → e v → = ( 0,1 , - 1 ) :

2 2 = c o s   45 ° = x → ⋅ v → | x → | | v | → = ( a , b , c ) ⋅ ( 0,1 , - 1 ) a 2 + b 2 + c 2 1 + 1 = b - c a 2 + b 2 + c 2 2

⇒ b - c a 2 + b 2 + c 2 = 2 2 = 1 ⇒ b - c = a 2 + b 2 + c 2

Como o vetor x → é unitário, então a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Logo,

b - c = 1

Substituindo a = - b na equação acima, obtemos

- a - c = 1 ⇒ c = - a - 1

Passo 2

Então, temos um vetor do tipo x → = ( a , - a , - a - 1 ) e, para determinar a , podemos usar novamente o fato do vetor ser unitário:

a 2 + a 2 + ( a + 1 ) 2 = 1 ⇒ 2 a 2 + a 2 + 2 a + 1 = 1

⇒ 3 a 2 + 2 a + 1 = 1 ⇒ 3 a 2 + 2 a + 1 = 1 ⇒ 3 a 2 + 2 a = 0 ⇒ a ( 3 a + 2 ) = 0 ⇒ a = 0 ,   a = - 2 3

Com isso, obtivemos dois valores de a . Assim,

  • Para a = 0
  • x → = ( a , - a , - a - 1 ) = ( 0,0 , - 1 )

  • Para a = - 2 3

x → = ( a , - a , - a - 1 ) = ( - 2 3 , 2 3 , - 1 3 )

Resposta

x → = ( 0,0 , - 1 ) ou x → = ( - 2 3 , 2 3 , - 1 3 )