Enunciado

Dados os vetores u → = ( 1 , - 1 ,   0 ) e v → = ( 2,1 , 3 ) , determine um vetor w → , sabendo que w → é ortogonal a u → e a v → , | w | →   =   243 e o ângulo formado por w → com o vetor j → é agudo.

Passo 1

Fala, pessoal! Tá um pouco perdido nessa questão? Não tem problema, a gente Responde Aí para você.

Basicamente, nós precisamos de um vetor w → = ( x , y , z ) que seja ortogonal a u → e a v → e tenha módulo | w | →   =   243 . A condição de ortogonalidade nos dá

w → ⋅ u → = 0 ⇒ ( x , y , z ) ⋅ ( 1 , - 1,0 ) = 0 ⇒ x - y = 0 ⇒ x = y

w → ⋅ v → = 0 ⇒ ( x , y , z ) ⋅ ( 2,1 , 3 ) = 0 ⇒ 2 x + y + 3 z = 0

Ok! Vamos substituir x = y na segunda equação:

2 x + y + 3 z = 0 ⇒ 2 y + y + 3 z = 0 ⇒ 3 y + 3 z = 0 ⇒ z = - y

Passo 2

Então, temos w → = ( y , y , - y ) . Só falta determinar y e, para isso, vamos usar | w | →   =   243 :

| w | →   =   243 ⇒ y 2 + y 2 + y 2 = 243

⇒ 3 y 2 = 243 ⇒ 3 y 2 = 243

⇒ y 2 = 81 ⇒ y = ± 9

Estamos quase lá. Só falta saber o sinal correto y . Para isso, temos que lembrar que ângulo formado por w → com o vetor j → = ( 0,1 , 0 ) é agudo, ou seja,

w → ⋅ j → > 0 ⇒ ( y , y , - y ) ⋅ ( 0,1 , 0 ) > 0 ⇒ y > 0

Então, y = 9 e w → = ( 9,9 , - 9 ) .

Resposta

w → = ( 9,9 , - 9 )