Dados os vetores

u = (2 , - 3,1) , v = (2,2 , 0) e w = ( 1 , - 3,4 )

  1. u . v e v . u ;
  2. u x v e v x u ;
  3. (u x v) . w e v . (v x w) ;
  4. (u x v) x w e u x (v x w) ;
  5. (u x v) x (u x w) ;
  6. (u + v) x (u + w) ;
  7. O ângulo entre u e v .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele pede para calcularmos os vetores sabendo que,

u = (2 , - 3,1) , v = (2,2 , 0) e w = ( 1 , - 3,4 )

  1. u . v e v . u ;
  2. u x v e v x u ;
  3. (u x v) . w e v . (v x w) ;
  4. (u x v) x w e u x (v x w) ;
  5. (u x v) x (u x w) ;
  6. (u + v) x (u + w) ;
  7. O ângulo entre u e v .

Passo 2

Na letra (a) sabendo que,

u . v e v . u , sendo u = (2 , - 3,1) , v = (2,2 , 0) temos que,

u . v = v . u -> (2 , - 3,1) . (2,2 , 0) -> 4 - 6 + 0 = - 2

Na letra (b) sabendo que,

u x v e v x u , tendo

u = (2 , - 3,1)

v = (2,2 , 0)

Vamos ter que para isso calcular o produto vetorial que fica,

u x v = |[[i,j,k],[2,-,3,1],[2,2,0]]| [[i,j],[2,-,3],[2,2]] -> (0 - 2) i + (2 - 0) j + (4 - (- 6)) k -> ( - 2,2 , 10 )

v x u = |[[i,j,k],[2,2,0],[2,-,3,1]]| [[i,j],[2,2],[2,-,3]] -> (2 - 0) i + (0 - 2) j + (- 6 - 4) k -> ( 2 , - 2 , - 10 )

Na letra ( c ) sabendo que,

(u x v) . w e v . (v x w) ; temos

u = (2 , - 3,1)

v = (2,2 , 0)

w = ( 1 , - 3,4 )

(u x v) . w |[[i,j,k],[2,-,3,1],[2,2,0]]| . ( 1 , - 3,4 )

Realizando o produto vetorial e depois a multiplicação vamos ter que,

u x v = |[[i,j,k],[2,-,3,1],[2,2,0]]| [[i,j],[2,-,3],[2,2]] -> (0 - 2) i + (2 - 0) j + (4 - (- 6)) k -> ( - 2,2 , 10 )

(- 2,2 , 10) . (1 , - 3,4) = - 2 - 6 + 40 = 32

Que por coincidência se realizarmos v . (v x w) também vamos ter como resultado 32

v . (v x w) = 32

Passo 3

Na letra (d) sabendo que,

(u x v) x w e u x (v x w)

Solucionando (u x v) x w primeiro vamos ter que,

( u x v ) = |[[i,j,k],[2,-,3,1],[2,2,0]]| [[i,j],[2,-,3],[2,2]] -> (0 - 2) i + (2 - 0) j + (4 - (- 6)) k -> ( - 2,2 , 10 )

(- 2,2 , 10) x ( 1 , - 3,4 )

(- 2,2 , 10) x ( 1 , - 3,4 ) = |[[i,j,k],[-,2,2,1,0],[1,-,3,4]]| [[i,j],[-,2,2],[1,-,3]] -> (8 - (- 30)) i + (10 - (- 8)) j + (6 - 2) k -> ( 38,18,4 )

E para u x (v x w) vamos ter que,

( v x w ) = |[[i,j,k],[2,2,0],[1,-,3,4]]| [[i,j],[2,2],[1,-,3]] -> (8 - 0) i + (0 - 8) j + (- 6 - 2) k -> ( 8 , - 8 , - 8 )

(2 , - 3,1) x ( 8 , - 8 , - 8 )

|[[i,j,k],[2,-,3,1],[8,-,8,-,8]]| [[i,j],[2,-,3],[8,-,8]] -> (24 - (- 8)) i + (8 - (- 16)) j + ( - 16 - (24) k -> ( 32,24,8 )

E por fim na letra (e) sabendo que,

(u x v) x (u x w)

Iniciando pelo produto vetorial (u x v)

( u x v ) = |[[i,j,k],[2,-,3,1],[2,2,0]]| [[i,j],[2,-,3],[2,2]] -> (0 - 2) i + (2 - 2) j + (4 - (- 6)) k -> ( - 2 , 0 , 10 )

( u x w ) = |[[i,j,k],[2,-,3,1],[1,-,3,4]]| [[i,j],[2,-,3],[1,-,3]] -> (- 12 - (- 3)) i + (1 - 8) j + (- 6 - (- 3)) k -> ( - 9 , - 7 , - 3 ) )

(- 2,0 , 10) x ( - 9 , - 7 , - 3 )

|[[i,j,k],[2,0,1,0],[-,9,-,7,-,3]]| [[i,j],[2,0],[-,9,-,7]] -> (- 6 - (- 70)) i + (- 90 - 6) j + (14 - 0) k -> ( 14 , - 96,32 )

Passo 4

Na letra (f) sabendo que,

(u + v) x (u + w) , vamos ter que

(u + v) = (2 , - 3,1) + (2,2 , 0) = ( 4 , - 1,1 )

(u + w) = (2 , - 3,1) + (1 , - 3,4) -> ( 3 . - 6,5 )

|[[i,j,k],[4,-,1,1],[3,-,6,5]]| [[i,j],[4,-,1],[3,-,6]] -> (- 5 - (- 6)) i + (3 - 20) j + (- 24 - (- 3)) k -> ( 1 , - 17 , - 21 )

Calma galera ta acabando rsrs

Na letra (g) sabendo que,

O ângulo entre u e v , temos

cos theta = (u . v)/(||u|| . | | v | |) = ((2 , - 3,1) . ( 2,2 , 0 ))/(sqrt(2^2 + (- 3)^2 + 1^2) + sqrt(2^2 + 2^2 + 0^2)) -> cos theta = (4 - 6)/(sqrt(14) . sqrt(8)) -> theta = arccos (sqrt(7))/(14)

Resposta

  1. u . v = v . u -> - 2
  2. u x v = ( - 2,2 , 10 ) , v x u = ( 2 , - 2 , - 10 )
  3. (u x v) . w = 32 e v . (v x w) = 32
  4. (u x v) x w = (38,18,4) e u x (v x w) = ( 32,24,8 )
  5. (u x v) x (u x w) = ( 14 , - 96,32 )
  6. (u + v) x (u + w) = ( 1 , - 17 , - 21 )
  7. O ângulo entre u e v -> arccos (sqrt(7))/(14)