Dados   A ( 2,1 , 3 ) , B ( 4 , - 1,1 ) e o plano α de equação   2 x   -   y   +   2 z   =   3 , determine as equações paramétricas de uma reta   r de α tal que todo ponto de   r   é equidistante de   A   e   B .

Passo 1

Ooi gente!

Começaremos pela fórmula de distância entre pontos: D = ( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

Se um ponto é equidistante de   A   e   B , então:

( x - 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z - 3 ) 2 = ( x - 4 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z - 1 ) 2

( x - 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z - 3 ) 2 = ( x - 4 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z - 1 ) 2

x 2 - 4 x + 4 + y 2 - 2 y + 1 + z 2 - 6 z + 9 = x 2 - 8 x + 16 + y 2 + 2 y + 1 + z 2 - 2 z + 1

4 x - 4 y - 4 z - 4 = 0

x - y - z - 1 = 0

Passo 2

Encontramos o plano que contém os pontos equidistantes de   A   e   B , a nossa reta será a interseção desse plano com   2 x   -   y   +   2 z   =   3 !!

Para descobrir a interseção de x - y - z - 1 = 0 e   2 x   -   y   +   2 z   =   3 :

Multiplicamos a primeira equação por 2: 2 x - 2 y - 2 z - 2 = 0

Adicionamos as equações membro a membro de forma a eliminar a variável z:

4 x - 3 y - 5 = 0

Escolhemos uma das variáveis que sobraram para ser o parâmetro:

x = t

4 t - 3 y - 5 = 0

y = - 5 3 + 4 3 t

Substituindo as equações anteriores na segunda equação do sistema temos:

2 t + 5 3 - 4 3 t + 2 z - 3 = 0

2 3 t - 4 3 + 2 z = 0

z = 2 3 - 1 3 t

Assim, as equações paramétricas da reta de interseção dos planos dados é:

x = t

y = - 5 3 + 4 3 t

z = 2 3 - 1 3 t

Passo 3

Substituindo as equações anteriores na segunda equação do sistema temos:

2 t + 5 3 - 4 3 t + 2 z - 3 = 0

2 3 t - 4 3 + 2 z = 0

z = 2 3 - 1 3 t

Assim, as equações paramétricas da reta de interseção dos planos dados é:

x = t

y = - 5 3 + 4 3 t

z = 2 3 - 1 3 t

Resposta

x = t

y = - 5 3 + 4 3 t

z = 2 3 - 1 3 t