Decida se os conjuntos dados são bases do espaço vetorial P n ( t )

a) 1 ,   1 + t ,   1 + t + t 2 ,   1 + t + t 2 + t 3 , … , 1 + t + t 2 + … + t n - 1 + t n

b) 1 + t ,   t + t 2 ,   t 2 + t 3 , … ,   t n - 2 + t n - 1 , t n - 1 + t n

Passo 1

E aíí gente, tudo certo?

Se liga, nesse problema, temos que avaliar se dois conjuntos diferentes formam base do espaço de polinômios de grau n

Só lembrando: pra ser base, devemos ter a mesma quantidade de elementos que a dimensão do espaço

E... a dimensão do espaço P n é n + 1

Exemplo: o espaço dos polinômios de grau 2 tem a base canônica:

β = 1 , t , t 2

Ou seja, tem 3 elementos, porque o espaço tem dimensão 2 + 1 = 3

Agora vamos lá!

Passo 2

a) 1 ,   1 + t ,   1 + t + t 2 ,   1 + t + t 2 + t 3 , … , 1 + t + t 2 + … + t n - 1 + t n

Esse conjunto é formado por n + 1 termos, porque começa com o termo independente (1) e depois vai aumentando até chegar em n

Então, simmm, é uma base de P n

Passo 3

b) 1 + t ,   t + t 2 ,   t 2 + t 3 , … ,   t n - 2 + t n - 1 , t n - 1 + t n

Esse conjunto contém n termos galera, porque repara: no primeiro elemento é um termo já de grau 1, e o último de grau n, então não temos n+1 termos

Dessa forma, não é uma base para P n

Resposta

a) Sim

b) Não, pois tem n termos, e não n + 1 , que é a dimensão do espaço