Enunciado

Decomponha o número 100 em duas parcelas positivas tais que uma é múltipla de 7 e a outra de 11. (Problema do matemático L. Euler [1707-1783]).

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Precisamos encontrar as parcelas positivas, uma múltipla de 7 e a outra de 11. Vamos escrever no formato de uma diofantina então.

7 α + 11 b = 100

Aplicando o teorema de bezout, sabendo que m d c 7,11 = 1

7 a + 11 b = 1

Uma solução para essa equação de bezout é a = - 3 e b = 2 :

7 - 3 + 11 2 = 1

Multiplicando nossa equação por 100 para se obter a diofantina:

7 - 300 + 11 200 = 100

Portanto, (-300, 200) é uma solução da equação.

Passo 2

Mas temos um problema, as parcelas devem ser positivas! Vamos escrever de forma generalizada da solução para resolvermos isso:

- 300 + 11 m d c 7 , 11 ⋅ k , 200 - 7 m d c 7 , 11 ⋅ k = - 300 + 1 1 k , 200 - 7 k   c o m   k ∈ Z

E esse k deve cumprir a condição de ser maior do que zero, pois queremos só as positivas. Então:

200 - 7 k > 0 → k < 200 7 = 28 , 57 …

- 300 + 11 k > 0 → k > 300 11 = 27 , 27 -  

27 , 27 - < k < 28,57 …

Portanto, k só pode assumir o valor de 28, pois é um inteiro, de forma a satisfazer o problema enunciado.

Passo 3

Com k = 28 :

- 300 + 11 ⋅ 28 ,   200 - 7 ⋅ 28 = ( 8,4 )

Dessa forma, 100 pode ser decomposto em duas parcelas:

7 ⋅ 8 = 56   e   11 ⋅ 4 = 44

Resposta

7 ⋅ 8 = 56   e   11 ⋅ 4 = 44