Decomponha u →   = ( 1,2 , 1 ) em uma soma de dois vetores a → e b → tais que a → é paralelo ao vetor v → = ( 1,4 , 1 ) e b → é ortogonal a v → . Determine o ângulo formado por a → e u → .

Passo 1

Fala, galera! Estão com dúvida nesta questão? Relaxa que a gente Responde Aí para vocês.

Olha só, como a → é paralelo ao vetor v → = ( 1,4 , 1 ) , então devemos ter a → = m ( 1,4 , 1 ) . Já a condição de b → = ( x , y , z ) ser ortogonal a v → , nos fornece

b → ⋅ v → = 0 ⇒ ( x , y , z ) ⋅ ( 1,4 , 1 ) = 0 ⇒ x + 4 y + z = 0 ⇒ y = - ( x + z ) 4

Assim, b → = ( x , - ( x + z ) 4 , z ) . Só falta agora somar a → e b → e comparar com u →   = ( 1,2 , 1 ) :

u →   = a → + b → ⇒ ( 1,2 , 1 ) = m ( 1,4 , 1 ) + ( x , - ( x + z ) 4 , z ) = ( m + x , 4 m - ( x + z ) 4 , m + z )

Então,

m + x = 1

4 m - ( x + z ) 4 = 2

m + z = 1

Subtraindo a terceira equação da primeira, vemos que

x - z = 0 ⇒ x = z

Substituindo esse resultado na segunda equação nos dá

4 m - ( x + z ) 4 = 2 ⇒ 4 m - x 2 = 2 ⇒ 8 m - x = 4 ⇒ x = z = 8 m - 4

Por fim, substituímos x = 8 m - 4 na primeira equação:

m + x = 1 ⇒ m + 8 m - 4 = 1 ⇒ 9 m = 5 ⇒ m = 5 9

x = z = 8 m - 4 = 40 9 - 4 = 4 9

Assim, o vetor u →   = ( 1,2 , 1 ) pode ser decomposto como

u →   = m ( 1,4 , 1 ) + ( x , - x 2 , z ) = 5 9 ( 1,4 , 1 ) + ( 4 9 , - 2 9 , 4 9 ) = 5 9 ( 1,4 , 1 ) + 2 9 ( 2 , - 1,2 )

com a → = 5 9 ( 1,4 , 1 ) e b → = 2 9 ( 2 , - 1,2 ) .

Passo 2

Para calcular o ângulo formado por a → e u → , só precisamos usar a fórmula:

c o s   α = a → ⋅ u → | a → | ⋅ | u → | = 5 9 ( 1,4 , 1 ) ⋅ ( 1,2 , 1 ) 25 ⋅ 18 81 6 = 5 ( 1 + 8 + 1 ) 450 6 = 50 9 ⋅ 50 6 = 50 9 ⋅ 6 = 1 3 25 3 = 5 3 3 = 5 9 3

Isso é tudo, pessoal!

Resposta

u →   = 5 9 ( 1,4 , 1 ) + 2 9 ( 2 , - 1,2 )

c o s   α = 5 9 3