Enunciado

Deduza uma equação da hipérbole

a)De focos F 1 = 3,0   e   F 2 = ( - 3,0 ) e vértices A 1 = 2,0   e   A 2 = - 2,0 ;

b)De focos F 1 = 2,2   e   F 2 = ( - 2 , - 2 ) e vértices A 1 = 1,1 e   A 2 = ( - 1,1 )

Passo 1

Falaa, blz? Para fazermos essa questão vamos lembrar que:A distância do centro até o foco é c

A distância do centro até o vértice é a

E temos a relação:

c 2 = a 2 + b 2

Passo 2

Vamos começar pelo primeiro item, tomando a origem do plano cartesiano como o centro da hipérbole.

Como tomamos o centro sendo a origem, temos que o valor de c é a própria coordenada x do foco e o valor de a é a própria coordenada x do vértice

Com isso c = 3   ,   a = 2   e   p e l a   r e l a ç ã o ,   t o m a m o s   q u e   9 = 4 + b 2 ,   d a i   b = 5

Então temos a hipérbole horizontal:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

x 2 4 - y 2 5 = 1

Passo 3

Agora para letra b, iremos usar a definição de hipérbole:

Tomando um ponto P da hipérbole (x,y):

d P , F 1 - d P , F 2 = d ( A 1 , A 2 )

x - 2 2 + y - 2 2 -   x + 2 2 + y + 2 2 =   1 + 1 2 + 1 + 1 2

x - 2 2 + y - 2 2 -   x + 2 2 + y + 2 2 = 2 2

Claramente podemos melhorar essa equação, porém como só é pedido uma equação essa já basta.

Resposta

x 2 4 - y 2 5 = 1

x - 2 2 + y - 2 2 -   x + 2 2 + y + 2 2 = 2 2

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