a) Deduza uma equação da superfície gerada pela rotação da curva

z = y 2 - 4 y ,   x = 0       e   y ≥ 0

Em torno do eixo z

b) Descreva a interseção da superfície obtida em (a) com o plano yz

c) Descreva a interseção da superfície obtida em (a) com o plano z = k . Discuta os k > 0 ,   k = 0     e     k < 0

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele pede para acharmos os seguintes fatores

a) Deduza uma equação da superfície gerada pela rotação da curva

z = y 2 - 4 y ,   x = 0       e   y ≥ 0

Em torno do eixo z

b) Descreva a interseção da superfície obtida em (a) com o plano yz

c) Descreva a interseção da superfície obtida em (a) com o plano z = k . Discuta os k > 0 ,   k = 0     e     k < 0

Passo 2

Na letra (a) para deduzirmos a equação gerada pela rotação temos que,

z = y 2 - 4 y ,   x = 0       e   y ≥ 0

Para 0 ≤ y ≤ 4 , a reta contém o raio de rotação que intercepta a curva dada em dois pontos.

Com isso considerando cada um dos raios de rotação vamos ter que

2 + 4 + z 2 = x 2 + y 2     e     2 - 4 + z   2 = x 2 + y 2 ,   - 4 ≤ z ≤ 0

Passo 3

Na letra (b) para descrevermos a interseção obtida na letra (a) com o plano yz temos que,

2 + 4 + z 2 → z y 2 - 4 | y |

E esta curva vai se compor dos pontos do arco da parábola cuja a equação fica

z = y 2 - 4 y ,   y ≥ 0     e     z = y 2 + 4 y ,         y ≤ 0

E por fim na letra ( c ) para descrevermos a interseção da superfície obtida em (a) com o plano z = k e discutir os casos k > 0 ,   k = 0     e     k < 0 , temos

z = y 2 - 4 y

k > 0 → u m a   c i r c u n f e r ê n c i a

k = 0 → u m a   c i r c u n f e r ê n c i a   m a i s   o   s e u   c e n t r o

- 4 < k < 0 → d u a s   c i r c u n f e r ê n c i a s

k = - 4 → u m a   c i r c u n f e r ê n c i a  

k < - 4 → n ã o   h á   i n t e r s e ç ã o  

Resposta

  1. 2 + 4 + z 2 = x 2 + y 2     e     2 - 4 + z   2 = x 2 + y 2 ,   - 4 ≤ z ≤ 0
  2. z = y 2 - 4 y ,   y ≥ 0     e     z = y 2 + 4 y ,         y ≤ 0
  3. k > 0 → u m a   c i r c u n f e r ê n c i a

k = 0 → u m a   c i r c u n f e r ê n c i a   m a i s   o   s e u   c e n t r o

- 4 < k < 0 → d u a s   c i r c u n f e r ê n c i a s

k = - 4 → u m a   c i r c u n f e r ê n c i a  

k < - 4 → n ã o   h á   i n t e r s e ç ã o