Enunciado

Defina a matriz aleatória A = t r i u ( r a n d i ( 4,4 , 3 ) ) . Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo ( A - λ I 4 ) X = 0 ̄ tem solução não-trivial e para estes valores de λ , encontre uma base para o espaço solução.

Passo 1

Oiii, tudo certinho?

Se você utilizar o comando A = t r i u ( r a n d ( 4,4 , 3 ) ) no matlab online (que é de graça, se interessar dá uma olhadinha!), você vai obter uma matriz que segue as seguintes propriedades:

A   =   t r i u ( r a n d i ( i m a x , l i n h a s , c o l u n a s )

Em que i m a x é o maior valor que os elementos aleatórios na matriz podem obter, em nosso caso, é 4. E temos uma matriz que é 4 × 3 , e outra propriedade da matriz é obtida é que apenas termos da diagonal para cima são diferentes de zero. A que eu obti é da seguinte forma:

Note no entanto, que é impossível construir uma matriz da forma M = ( A - λ I 4 ) , já que I 4 é a identidade em 4 dimensões, e portanto, é uma matriz 4 × 4 . Então qual é o problema aqui? Baseado em spoilers, ou seja, na resposta dada no final do livro, é indicado que na verdade ele queria que esta matriz fosse originalmente 4 × 4 , talvez por uma atualização no matlab, matrizes neste formato são obtidas agora utilizando o código A = t r i u ( r a n d i ( 3,4 , 4 ) ) , neste processo, obti uma matriz tal que:

Vamos utilizar esta para resolver o nosso problema! Belezinha?

Passo 2

Primeiramente, precisamos escrever a matriz M   =   ( A - λ I 4 ) , tal que:

Encontrar os valores de λ é um problema de autovalores da matriz, portanto, teremos que escrever um polinômio característicos calculando o determinantes desta matriz e ver quando isso é igual a 0 , belezinha? Já que esta é a solução não trivial para a relação ( A - λ I 4 ) X = 0 ̄ . Bora lá!

Passo 3

Mas e agora? Como calcular o determinante desta matriz? Existem métodos analíticos para isso, mas como este é um livro básico de geometria analítica, não é de interesse ir a fundo neles (Você vai ter tempo para aprender isso) Utilizando o matlab, ou qualquer software que você preferir, temos que o determinante é tal que:

d e t   ( M )   = λ 4 - 6 λ 3 + 23 λ 2 - 28 λ + 12

Para que tenhamos uma solução não-trivial, é preciso que:

λ 4 - 6 λ 3 + 23 λ 2 - 28 λ + 12 = 0

Agora temos um polinômio de quarto grau para achar as raízes, vamos continuar botando o computador para trabalhar, no entanto, existem métodos analíticos que pode utilizar, por exemplo, Briot Ruffini se conseguir achar pelo menos 2 raízes, uma para reduzir à um polinômio de terceiro grau, e a segunda para reduzir à um polinômio de segundo grau. Mas, para este problema, o computador é o suficiente!

Passo 4

O valor que obtive para as raízes é:

λ 1 = λ 4 = 2 ,   λ 2 = 3   e   λ 3 = 1

O que faz sentido tendo em vista o formato de nossa matriz. Como temos que a parte sob a diagonal é totalmente nula, era possível adivinhar os valores que anulariam a diagonal, e portanto o determinante. Muito bem! Estes são os valores que garantem a nossa solução não-trivial! Obter a base para o espaço de solução é agora um problema de auto-vetores, bora lá!

Passo 5

Encontrar autovetores é encontrar um vetor X = ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) que obedeça a relação:

A X = λ X

Ou seja, para cada autovalor diferente, temos um sistema de quatro equações para os parâmetros x 1 , x 2 , x 3   e   x 4 (Aiai…). Vamos começar!

Passo 6

Utilizando λ 1 = 2 , temos:

Realizando o produto matricial do lado esquerdo, temos o seguinte sistema de equações:

2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 = 2 x 1 → 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 = 0           ( 1 )

3 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 = 2 x 2 → x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 = 0           ( 2 )

x 3 + x 4 = 2 x 3 → x 4 - x 3 = 0           ( 3 )

2 x 4 = 2 x 4           ( 4 )

Como a nossa equação (4) é trivial, temos que apenas 3 equações nos dão informações relevantes, sendo assim, precisamos escolher um parâmetro livre para estabelecer os outros, já que (4) é trivial, vou escolher x 4 = α , beleza?

Sendo assim, temos que de (3):

x 3 = x 4 = α

e de (2) temos:

x 2 + 2 α + 3 α = 0 → x 2 = - 5 α

E nós temos que este sistema independe do valor de x 1 , portanto ele pode tomar qualquer valor β de forma que nosso vetor pode ser escrito da forma:

V 1 = ( β , - 5 α , α , α ) = β ( 1,0 , 0,0 ) + α ( 0 , - 5,1 , 1 )

ou seja, nosso vetor pode ser escrito em termos de dois geradores V a = ( 1,0 , 0,0 ) e V b = ( 0 , - 5,1 , 1 ) que são L.I. e portanto são base do sistema. Vamos partir para outro autovalor agora, beleza?

Passo 7

Analogamente, temos a equação matricial:

o que nos dá o seguinte sistema de equações:

2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 = 3 x 1 → - x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 = 0           ( 1 )

3 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 = 3 x 2 → 2 x 3 + 3 x 4 = 0           ( 2 )

x 3 + x 4 = 3 x 3 → - 2 x 3 + x 4 = 0           ( 3 )

2 x 4 = 3 x 4           ( 4 )

Esse sistema nos garante que x 4   e   x 3 são nulos devido às equações (3) e (4), no entanto, devido a essa informação a equação (2) é trivial. Ou seja, temos que definir um parâmetro livre. Vamos tomar x 2 = α , e assim da equação (1), temos:

x 1 = 2 α

Ou seja, nosso vetor tem a forma V 2 = ( 2 α , α , 0,0 ) = α ( 2,1 , 0,0 ) . Ou seja o vetor V c = ( 2,1 , 0,0 ) é base do nosso espaço solução! Vamos para o último autovalor diferente!

Passo 8

Novamente, temos agora a equação matricial:

Que é equivalente ao sistema:

2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 = x 1 → x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 = 0           ( 1 )

3 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 = x 2 → 2 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 = 0         ( 2 )

x 3 + x 4 = x 3 → x 4 = 0           ( 3 )

2 x 4 = x 4 → x 4 = 0         ( 4 )

A equação (3) e (4) nos dão a mesma informação x 4 = 0 , portanto, temos uma equação a menos para os outros 3 parâmetros, ou seja, novamente, temos que deixar um deles livre. Vamos escolher x 3 = α , o que faz com que tenhamos da equação (2) que:

x 2 = - α

e da equação (1) que:

x 1 = 0

e nosso vetor toma a forma V 3 = ( 0 , - α , α , 0 ) = α ( 0 , - 1,1 , 0 ) . Ou seja, nosso vetor de base é V d = ( 0 , - 1,1 , 0 ) . A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

{ V a , V b , V c , V d } = { ( 1,0 , 0,0 ) , ( 0 , - 5,1 , 1 ) , ( 2,1 , 0,0 ) , ( 0 , - 1,1 , 0 ) }

[ λ 1 , λ 2 , λ 3 , λ 4 ] = [ 2,3 , 1,2 ]

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada caso, calcule m para que os vetores sejam LD. u → = m ,1 ,m + 1 ,v → = 1 ,2 ,m , w → = ( 1 ,1 ,1 )
Em cada caso, calcule m para que os vetores sejam LD. u → = m ,1 ,m + 1 ,v → = 0 ,1 ,m , w → = ( 0 ,m ,2 m )
Verifique se f → 1 ,f → 2 ,f → 3 é base, sabendo que f → 1 = e → 1 + e → 2 + e → 3 , f → 2 = e → 1 + e → 2 e f → 3 = e → 3 e que ( e → 1 ,e → 2 ,e → 3 ) é base.
Sejam O A B C um tetraedro e M o ponto médio de B C . Explique por que O A → ,O B → ,O C → é base e determine as coordenadas de A M → nessa base.
Sejam E = e → 1 , e → 2 ,e → 3 uma base, u → = e → 1 + e → 2 , v → = e → 1 + e → 2 + e → 3 , w → = a e → 1 + b e → 2 + c e → 3 . Deduza uma condição necessária e suficiente sobre a , b e c para que u