Definição 6.21: Diz-se que uma matriz quadrada   S é anti-simétrica se S T = - S .

a. Mostre que d e t d e t   ( S )   =   0 se S é n × n com n ímpar.

b. Dê um exemplo de S 2 × 2 anti-simétrica e d e t d e t   S   ≠ 0 .

Passo 1

Faaala, galeraaa!

Letra a)

Uma matriz é dita anti-simétrica se sua matriz transposta é igual a sua matriz oposta, ou seja:

S T = - S

Temos que:

d e t d e t   ( k S )   = k n d e t d e t   ( S )  

Se x = d e t d e t   ( S )   , então:

d e t d e t   ( - S )   = ( - 1 ) n x

Passo 2

Como o determinante de uma matriz é igual o de sua transposta, d e t d e t   ( S T   ) = d e t d e t   ( - S )   .

Logo:

d e t d e t   ( S T   ) = - d e t d e t   ( S )  

d e t d e t   ( S   ) = - d e t d e t   ( S )  

x = ( - 1 ) n x

Então:

x = - x

Para satisfazer essa relação:

x = 0

Passo 3

Letra b)

Um exemplo de matriz anti-simétrica é

S = 0   b   - b   0   , com b ≠ 0

Passo 4

Temos que:

d e t d e t   S   = 0 - - b 2 = b 2

d e t d e t   S   = b 2 ≠ 0

Até mais!

Resposta

a. x = 0

b. S = 0   b   - b   0   , d e t d e t   S   = b 2 ≠ 0