Demonstre: Se vec u != vec 0 , vec u * vec v = vec u * vec w e vec u ^^ vec v = vec u ^^ vec w então vec v = vec w .

Passo 1

Fala, galera! Para resolver essa questão, vamos usar um pequeno truque:

vec u * vec v = vec u * vec w => vec u * vec v - vec u * vec w = 0 => vec u * ( vec v - vec w ) = 0

vec u ^^ vec v = vec u ^^ vec w => vec u ^^ vec v - vec u ^^ vec w = 0 => vec u ^^ ( vec v - vec w ) = 0

A primeira equação nos diz que vec v - vec w = vec 0 ou que vec v - vec w é perpendicular a vec u (já estamos usando o fato de que vec u != vec 0 ). Já a segunda equação é satisfeita quando vec v - vec w = vec 0 ou quando vec v - vec w é l.d. com vec u . Como queremos vec u * vec v = vec u * vec w e vec u ^^ vec v = vec u ^^ vec w simultaneamente, temos que usar a única opção em comum que satisfaz as duas equações. Então vec v - vec w = vec 0 , ou seja, vec v = vec w .

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Resposta

Veja a resolução acima.