Enunciado

Demonstre que, se a|c, b|c e mdc(a, b) = d, então ab|cd. Sugestão: Use a identidade de Bezout para a, b e d.

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Vem comigo que essa provinha é mais longa olha lá! Vamos escrever as equações iniciais para resolver o problema.

Como o enunciado nos diz que a | c , então existe um k ∈ Z tal que c = a ⋅ k .

Sabemos também que m d c a , b = d então d | a , logo c = a d ⋅ d ⋅ k .

Portanto, existe um número x = d k , tal que c = a d ⋅ x , assim como c = b d ⋅ y .

Passo 2

Vamos multiplicar as duas equações que encontramos

c ⋅ c = a d ⋅ x ⋅ b d ⋅ y

c 2 = a d ⋅ b d ⋅ x y

c d 2 = a b ⋅ x y

⇒ a b | c d 2

Passo 3

Vamos supor agora que ab e cd não são divisíveis, ou seja, existe um resto.

Então,

c d = k a b + r ,   c o m   k   e   r ∈ Z *   e   1 ≤ r ≤ a b

Sendo assim, temos,

c d 2 = k a b + r 2

c d 2 = k 2 a b 2 + 2 k a b r + r 2

c d 2 = a b k 2 a b + 2 k r + r 2

Portanto, mesmo se supormos que ab e cd não são divisíveis, foi provado que ab é divisível por c d 2 assim, cada termo do polinômio encontrado no passo 3 deve ter divisão sem resto por ab, o que ocorre nos dois primeiros termos, mas não no último, o que é absurdo pois contraria a divisibilidade de c d 2 por ab.

a b | c d , como queríamos demonstrar.

Resposta

Demonstração