Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Algebra Moderna - Hygino H. Domingues e Gelson Iezzi- Ed: 4º - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 22
Demonstre que, se a|c, b|c e mdc(a, b) = d, então ab|cd. Sugestão: Use a identidade de Bezout para a, b e d.
Passo 1
Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!
Vem comigo que essa provinha é mais longa olha lá! Vamos escrever as equações iniciais para resolver o problema.
Como o enunciado nos diz que , então existe um tal que .
Sabemos também que então , logo .
Portanto, existe um número , tal que , assim como .
Passo 2
Vamos multiplicar as duas equações que encontramos
Passo 3
Vamos supor agora que ab e cd não são divisíveis, ou seja, existe um resto.
Então,
Sendo assim, temos,
Portanto, mesmo se supormos que ab e cd não são divisíveis, foi provado que ab é divisível por assim, cada termo do polinômio encontrado no passo 3 deve ter divisão sem resto por ab, o que ocorre nos dois primeiros termos, mas não no último, o que é absurdo pois contraria a divisibilidade de por ab.
, como queríamos demonstrar.
Resposta
Demonstração