1. Demonstre: [ a → ,   b   → + c → , d → ]   = [ a → ,   b → , d → ]   +   [ a → ,   c → ,   d → ] .
  2. Que condições devem satisfazer os vetores a → , b   → e c → para que se tenha [ a → ,   b   → + c → , c → ]   = 0 ?

Passo 1

  1. Para essa demonstração, só precisamos lembrar a fórmula do produto misto:
  2. [ a → ,   b   → + c → , d → ] = ( ( a → ∧ ( b   → + c → ) ) ⋅ d → = ( a → ∧ b   → ) ⋅ d → + ( a → ∧ c → ) ⋅ d → = [ a → ,   b → , d → ]   +   [ a → ,   c → ,   d → ]

    onde usamos a propriedade distributiva do produto vetorial.

    Passo 2

  3. Lembrando que o produto misto é um determinante dos três vetores, então [ a → ,   b   → + c → , c → ] pode ser satisfeito se a → ,   b   → + c → , c → forem l.d. Nesse caso, o vetor b   → + c → pode ser escrito como combinação de a → , c → . Por consequência, b   → é combinação linear de a → , c → :

b   → + c → = α a → + γ c → ⇒ b   → = α a → + ( γ - 1 ) c →

Assim, a → ,   b   → , c → são l.d.

Resposta

b) a → ,   b   → , c → são l.d.