Demonstre: Se 3 vec A P + 2 vec A Q - 5 vec A R = vec 0 , então P , Q e R estão alinhados.

Passo 1

Para mostrar que P , Q e R estão alinhados, só precisamos mostrar que vec P Q e vec Q R são paralelos. Então vamos tentar obter esses dois vetores como somas de vetores que passam pelo ponto A , porque aí vamos poder usar a relação 3 vec A P + 2 vec A Q - 5 vec A R = vec 0 . Assim,

vec R Q = vec R A + vec A Q = - vec A R + vec A Q

vec P Q = vec P A + vec A Q = - vec A P + vec A Q

Subtraindo a segunda equação da primeira:

vec R Q - vec P Q = - vec A R + vec A Q + vec A P - vec A Q

vec R Q + vec Q P = - vec A R + vec A P

Por outro lado, a equação 3 vec A P + 2 vec A Q - 5 vec A R = vec 0 nos fornece:

vec A P = - (2)/(3) vec A Q + (5)/(3) vec A R

Daí, vem que

vec R Q + vec Q P = - vec A R - (2)/(3) vec A Q + (5)/(3) vec A R

=> vec R Q + vec Q P = (2)/(3) vec A R - (2)/(3) vec A Q

Já perceberam o que vamos fazer? Temos vec R Q + vec Q P = vec R P e vec R A + vec A Q = vec R Q . Logo,

vec R P = - (2)/(3) ( vec R A + vec A Q ) = - (2)/(3) vec R Q

Resposta

vec R P = - (2)/(3) vec R Q