Demonstre que a hipérbole

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 ,

É a cônica de foco F c , 0 , excentricidade e = c a e diretriz x = a e ou a cônica de foco F 1 ( - c , 0 ) , excentricidade e = c a e diretriz x = - a e , onde c = a 2 - b 2       o u     c = b 2 - a 2 .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele pede para demonstrar que a hipérbole é cônica de foco F c , 0 dado que,

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

e = c a diretriz x = a e , diretriz x = - a e

F 1 ( - c , 0 ) x = - a e c = a 2 - b 2 ou c = b 2 - a 2

Passo 2

Derivando a função por x e por y

d d x = 2 x a 2   b 2 2 x a 2 2 y = b 2 x a 2 y

d d y = 2 y b 2

2 x a 2 + 2 y b 2

y 0 y - y 0 2 b 2 = - x 0 x - x 0 2 a 2 ,

Substituindo, = a 2 - b 2 ou c = b 2 - a 2

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Resposta

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1