Demonstre por indução

c) 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = ( 1 + 2 + ... + n )^2 ( n >= 1 )

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Nessa questão ele pede para demonstrarmos por indução que,

c) 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = ( 1 + 2 + ... + n )^2 ( n >= 1 )

Fica tranquilo, vem comigo que esta questão vai ser de boa.

Passo 2

Sabendo que,

c) 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = ( 1 + 2 + ... + n )^2 ( n >= 1 ) , temos

a proposição válida para 1^3 = 1^2

sendo a proposição válida em k.

1^3 + 2^3 + ... + k^3 = (1 + 2 + ... + k)^2

Sendo (k + 1)^3 ,

1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k + 1)^3 = (1 + 2 + ... + k)^2 + (k + 1)^3

Com isso, sabendo que,

1 + 2 + ... + k = (k (k + 1))/(2) , realizando a substituição.

(1 + 2 + ... + k)^2 + (k + 1)^3 = ((k (k + 1))/(2))^2 + (k + 1)^3

(1 + 2 + ... + k)^2 + (k + 1)^3 = ((k + 1)^2 (k + 2)^2)/(2^2)

(1 + 2 + ... + k)^2 + (k + 1)^3 = (((k + 1) (k + 2))/(2))^2

(1 + 2 + ... + k)^2 + (k + 1)^3 = (1 + 2 + ... + (k + 1)^2)

Sendo ela válida ´para k, com o princípio de indução válido para todo ( n >= 1 )

Espero ter ajudado, até a próxima.

Resposta

Válida ´para k, com o princípio de indução válido para todo ( n >= 1 )