Demonstre por indução

d) 1.2 + 2.3 + ... + n (n + 1) = (n ( n + 1 ) ( n + 2 ))/(3) ( n >= 1 )

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Nessa questão ele pede para demonstrarmos por indução que,

d) 1.2 + 2.3 + ... + n (n + 1) = (n ( n + 1 ) ( n + 2 ))/(3) ( n >= 1 )

Fica tranquilo, vem comigo que esta questão vai ser de boa.

Passo 2

Sabendo que,

d) 1.2 + 2.3 + ... + n (n + 1) = (n ( n + 1 ) ( n + 2 ))/(3) ( n >= 1 )

com a proposição válida para 1,

1.2 = (1 (1 + 1) . ( 1 + 2 ))/(3) -> 6 = 6

Tornando a proposição verdadeira para k

1.2 + 2.3 + ... + k ( k + 1 ) = (k ( k + 1 ) ( k + 2 ))/(3)

Somando ambos os membros ( k + 1 ) ( k + 2 )

1.2 + 2.3 + ... + k (k + 1) + (k + 1) (k + 2) = (k (k + 1) (k + 2))/(3) + ( k + 1 ) ( k + 2 )

1.2 + 2.3 + ... + (k + 1) (k + 2)

sendo a proposição válida em k.

1^3 + 2^3 + ... + k^3 = (1 + 2 + ... + k)^2 = (( k + 1 ) (k + 2) (k + 3))/(3)

Com isso, k também é válida para ( k + 1 ) sendo a indução a proposição válida para todo n >= 1

Espero ter ajudado, até a próxima.

Resposta

Com isso, k também é válida para ( k + 1 ) sendo a indução a proposição válida para todo n >= 1