Demonstre por indução

b) 1 + 3 + 5 + ... + ( 2 n - 1 ) = n^2 ( n >= 1 )

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Nessa questão ele pede para demonstrarmos por indução que,

a) 1 + 3 + 5 + ... + ( 2 n - 1 ) = n^2 ( n >= 1 )

Fica tranquilo, vem comigo que esta questão vai ser de boa.

Passo 2

Sabendo que,

a) 1 + 3 + 5 + ... + ( 2 n - 1 ) = n^2 ( n >= 1 ) , temos

que podemos dizer que a proposição é verdadeira para 1, pois 1 = 1^2

assim a proposição é verdadeira para k em,

1 + 3 + 5 + ... + (2 k - 1) = k^2

Notando que os valores da direita crescem de 2 em 2 (1,3, 5, ...) temos que o próximo termo ( 2 k - 1 ) seria ( 2 k + 1 )

1 + 3 + 5 + (2 k - 1) + (2 k + 1) = k^2 + ( 2 k + 1 )

1 + 3 + 5 + ... + (2 k - 1) + (2 k + 1) = (k + 1)^2

A proposição é válida para k então ela é válida para k + 1 , sendo assim ela é verdadeira para n >= 1

Espero ter ajudado, até a próxima.

Resposta

A proposição é válida para k então ela é válida para k + 1 , sendo assim ela é verdadeira para n >= 1