Enunciado

Demonstre por indução que:

8 | ( 3^(2 n) + 7 ) ( n >= 0 )

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Vamos aplicar o nosso querido método da indução, quer dizer, vamos supor o menor número inteiro que pode ser n para provar que a proposição é verdadeira, bora!

Vamos começar supondo que n é 0 para descobrir se 8 é divisível com n = 0,

= 3^(2 (0)) + 7

= 3^0 + 7

= 8

A proposição é verdadeira, pois 8|8 é verdadeiro

Passo 2

Dessa forma, vamos supor que se a proposição é verdadeira para um k qualquer, então 8 | ( 3^(2 k) + 7 ) .

Portanto, se são divisíveis, podemos igualar e montar uma relação.

(3^(2 k) + 7) = 8 a c o m a in Z

Multiplicando ambos os lados por 3^2

(3^(2 k) + 7) * 3^2 = 8 a * 3^2

3^(2 k + 2) + 63 = 8 (9 a)

3^(2 k + 2) + 7 = 8 (9 a) - 56

3^(2 k + 2) + 7 = 8 (9 a - 7)

Temos que 8 é divisível por 8 (9 a - 7) , então 8 é divisível também por 3^(2 ( k + 1 )) + 7 .

Assim, está provado por indução que a proposição inicial é verdadeira.

Resposta

Demonstração