Demonstre por indução que:

7 | ( 2^(3 n) - 1 ) ( n >= 0 )

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Vamos aplicar o nosso querido método da indução, quer dizer, vamos supor o menor número inteiro que pode ser n para provar que a proposição é verdadeira, bora!

Vamos começar supondo que n é 0 para descobrir se 7 é divisível com n = 0,

= 2^(3 (0)) - 1

= 2^0 - 1

= 0

A proposição é verdadeira, pois 7|0 é verdadeiro

Passo 2

Dessa forma, vamos supor que se a proposição é verdadeira para um k qualquer, então 7 | ( 2^(3 k) - 1 ) .

Portanto, se são divisíveis, podemos igualar e montar uma relação.

(2^(3 n) - 1) = 7 a c o m a in Z

Multiplicando ambos os lados por 2^3

(2^(3 n) - 1) * 2^3 = 7 a * 2^3

2^(3 k + 3) - 8 = 7 (8 a)

2^(3 (k + 1)) - 1 = 7 (8 a) + 7

2^(3 (k + 1)) - 1 = 7 (8 a + 1)

Temos que 7 é divisível por 7 (8 a + 1) , então 7 é divisível também por 2^(3 (k + 1)) - 1 .

Assim, está provado por indução que a proposição inicial é verdadeira.

Resposta

Demonstração