Demonstre por indução que:

1 7 | ( 3^(4 n + 2) + 2 * 4^(3 n + 1) ) ( n >= 0 )

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Vamos aplicar o nosso querido método da indução, quer dizer, vamos supor o menor número inteiro que pode ser n para provar que a proposição é verdadeira, bora!

Vamos começar supondo que n é 0 para descobrir se 17 é divisível com n = 0,

= 3^(4 ( 0 ) + 2) + 2 * 4^(3 ( 0 ) + 1)

= 3^2 + 2 * 4^1

= 17

A proposição é verdadeira, pois 17|17 é verdadeiro

Passo 2

Dessa forma, vamos supor que se a proposição é verdadeira para um k qualquer, então 17 | ( 3^(4 k + 2) + 2 * 4^(3 k + 1) ) .

Portanto, se são divisíveis, podemos igualar e montar uma relação.

3^(4 k + 2) + 2 * 4^(3 k + 1) = 1 7 a c o m a in Z

Multiplicando ambos os lados por (3^2 * 4^2)/(144) .

( 3^(4 k + 2) + 2 * 4^(3 k + 1) ) * (3^2 * 4^2)/(144) = 17 a * (144)/(144)

( 3^(4 k + 2 + 2) * 4^2 + 2 * 4^(3 k + 1 + 2) * 3^2 ) * (1)/(144) = 17 a

3^(4 ( k + 1 )) + 2 * 4^(3 ( k + 1 )) = 1 7 (a)

Temos que 17 é divisível por 1 7 ( a ) então 17 é divisível também por 3^(4 ( k + 1 )) + 2 * 4^(3 ( k + 1 )) .

Assim, está provado por indução que a proposição inicial é verdadeira.

Resposta

Demonstração